Disuguaglianza con somme

[.Ruben.17]

Siano $a_{i},b_{i},c_{i}$ tre sequenze di n reali positivi

Come posso dimostrare la seguente disuguaglianza?
$(\sum_{i=1}^n a_{i}b_{i}c_{i} )^2 \leq (\sum_{i=1}^n a_{i}^2)(\sum_{i=1}^n b_{i}^2)(\sum_{i=1}^n c_{i}^2)$

Ho provato per induzione ma non riesco, ma ho notato che somiglia moltissimo alla disuguaglianza di Cauchy: forse è possibile dimostrarla usando i vettori e le operazioni tra essi?

[gugo82]

Beh, scusa, chiama \(\mathbf{d}:=(a_1b_1,\ldots ,a_nb_n)\) e riscrivi:
\[
\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i = \sum_{i=1}^n d_ic_i\; ;
\]
applica Cauchy-Schwarz al secondo membro e trovi:
\[
\left( \sum_{i=1}^n a_ib_ic_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n d_ic_i\right)^2 \stackrel{\text{C-S}}{\leq} \sum_{i=1}^n d_i^2\cdot \sum_{i=1}^n c_i^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2\cdot \sum_{i=1}^n c_i^2\; .
\]
Concludi notando che la somma \(\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2\) è minore del prodotto \(\sum_{i=1}^n a_i^2\cdot \sum_{i=1}^n b_i^2\) (perchè?).

[.Ruben.17]

Si infatti poi l'ho risolta così..
Mi ero momentaneamente rimbambito