Disuguaglianza con interi
Ciao, amici! Trovo, nei Fondamenti della Geometria di Hilbert, appendice 2, che la disuguaglianza, in cui $r_1\in\mathbb{Q}$, $"arctg"(\gamma/\beta)>0$ (in realtà mi sembra di capire che $"arctg"$ è qui definita* diversamente dal solito come inversa della tangente ristretta a \((0,\pi)\), uguale a $\pi/2$ se $\beta=0$, caso mai servisse) e $theta_1\in\mathbb{R}$ è un angolo,\[0<\frac{a}{2^b}\pi+r_1 \theta_{k_1}<\text{arctg}\Big( \frac{\gamma}{\beta} \Big)\]è tale che esistono sempre interi $a$ e $b$ che la soddisfino.
Mentre in $\mathbb{R}$ basterebbe porre $a=-(2^br_1 \theta_{k_1})/\pi+(2^b"arctg"(\gamma/\beta))/(m\pi)$ per qualunque \(m>1\), non riesco proprio a vedere come si possano trovare in $\mathbb{Z}^2$ una coppia \((a,b)\) per cui valga la disuguaglianza dati $"arctg"(\gamma/\beta),r_1\theta_{k_1}$ (conservo la notazione originale per motivi filologici).
Qualcuno sarebbe così buono da darmi una mano a vedere il motivo di ciò che afferma il mio grande omonimo?
$+\infty$ grazie!!!
[size=85]*Anzi, in altre parti di queste sezione mi sembra -il poco formalismo adottato nel testo me ne preclude spesso la comprensione- che addirittura $"arctg"$ non sia neanche una funzione, ma la scrittura \(\theta=\text{arctg}\omega\) significhi semplicemente \(\theta\in\{x\in\mathbb{R}:\tan x =\omega\}\).[/size]
Mentre in $\mathbb{R}$ basterebbe porre $a=-(2^br_1 \theta_{k_1})/\pi+(2^b"arctg"(\gamma/\beta))/(m\pi)$ per qualunque \(m>1\), non riesco proprio a vedere come si possano trovare in $\mathbb{Z}^2$ una coppia \((a,b)\) per cui valga la disuguaglianza dati $"arctg"(\gamma/\beta),r_1\theta_{k_1}$ (conservo la notazione originale per motivi filologici).
Qualcuno sarebbe così buono da darmi una mano a vedere il motivo di ciò che afferma il mio grande omonimo?
$+\infty$ grazie!!!
[size=85]*Anzi, in altre parti di queste sezione mi sembra -il poco formalismo adottato nel testo me ne preclude spesso la comprensione- che addirittura $"arctg"$ non sia neanche una funzione, ma la scrittura \(\theta=\text{arctg}\omega\) significhi semplicemente \(\theta\in\{x\in\mathbb{R}:\tan x =\omega\}\).[/size]
Risposte
Certo che ti sei dato a una bella letturina eh. Ci vuole fegato per imbarcarsi in una impresa come la tua.
Comunque, a pensarci bene, mi sa che qua è una cavolata. Il numero \(b\) può essere preso arbitrariamente grande, no? Perciò ti basta mostrare che esiste \(r_1\theta_{k_1}\in (0, \arctan (\gamma /\beta))\).
Comunque, a pensarci bene, mi sa che qua è una cavolata. Il numero \(b\) può essere preso arbitrariamente grande, no? Perciò ti basta mostrare che esiste \(r_1\theta_{k_1}\in (0, \arctan (\gamma /\beta))\).
$+\infty$ grazie, dissonance! Certo, $b$ può essere arbitrariamente grande, in $\mathbb{Z}$, ma $r_1\theta_{k_1}$ è fissato e devo cercare $a$ e $b$ che soddisfino la disuguaglianza...
[ot]Eh, sì, trovo i Grundlagen piuttosto tosti e non me l'aspettavo. Tosti perché stringati nelle dimostrazioni, che talvolta tralasciano i casi meno "generali"*, quando ci sono, e io ovviamente non considero di aver capito un testo se non riesco a leggere e comprendere od elaborare da me (e poi sarebbe meglio verificarle da fonti più autorevoli di me
) le dimostrazioni dei fatti che vi sono enunciati, e tosti perché il linguaggio poco formalizzato mi crea un sacco di dubbi e un po' di fraintendimenti. Comunque trovo estremamente gratificante ed emozionante lo studio di questa affascinante opera, pietra miliare della matematica moderna...
*per esempio nelle dimostrazioni sul calcolo con il sistema di numeri desarguesiano del capitolo 5, dove sistematicamente si parla di parallelismo senza fare accenni a quando le rette considerate coincidono e si dà per scontata l'esistenza di punti che non sempre esistono, anche se poi quanto si voleva dimostrare è naturalmente valido e si può dimostrare in maniera un po' diversa[/ot]
[ot]Eh, sì, trovo i Grundlagen piuttosto tosti e non me l'aspettavo. Tosti perché stringati nelle dimostrazioni, che talvolta tralasciano i casi meno "generali"*, quando ci sono, e io ovviamente non considero di aver capito un testo se non riesco a leggere e comprendere od elaborare da me (e poi sarebbe meglio verificarle da fonti più autorevoli di me
) le dimostrazioni dei fatti che vi sono enunciati, e tosti perché il linguaggio poco formalizzato mi crea un sacco di dubbi e un po' di fraintendimenti. Comunque trovo estremamente gratificante ed emozionante lo studio di questa affascinante opera, pietra miliare della matematica moderna...*per esempio nelle dimostrazioni sul calcolo con il sistema di numeri desarguesiano del capitolo 5, dove sistematicamente si parla di parallelismo senza fare accenni a quando le rette considerate coincidono e si dà per scontata l'esistenza di punti che non sempre esistono, anche se poi quanto si voleva dimostrare è naturalmente valido e si può dimostrare in maniera un po' diversa[/ot]
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