Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

[michele.assirelli]

Non riesco a capire il seguente passaggio nella dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per le proprietà della norma:

$ λ^2 ||y||^2 + 2λ + ||x||^2 \ge 0 \Leftrightarrow \Delta \le 0 $

Perchè il polinomio di secondo grado sopra risulta positivo $\Leftrightarrow \Delta \le 0 $ ?

[Gi81]

Dati $a,b,c in RR$, con $a>0$,
la disequazione di secondo grado $a x^2 +bx+c>=0$ ha come soluzione tutto $RR$ se e solo se $Delta:=b^2-4ac<=0$.

Infatti, dato che $a>0$ la parabola $y=ax^2+bx+c$ ha concavità verso l'alto.
Se $Delta<0$, la parabola non tocca mai l'asse $x$, dunque è sempre positiva.
Se $Delta=0$, la parabola tocca l'asse $x$ in un solo punto, dunque è sempre positiva tranne che in quel punto, dove vale $0$, pertanto è sempre maggiore o uguale a $0$.
Se $Delta>0$, la parabola tocca l'asse $x$ in due punti distinti, quindi ci sarà un intervallo in cui la parabola è negativa.

[michele.assirelli]

Ah giusto, perfetto