Disuguaglianza $abs(sinx) <= abs(x)$

[cicalino1]

Ciao a tutti,

qualcuno sa dimostrarmi questa disuguaglianza:

$abs(sinx) <= abs(x)$

che è ovvia per ogni $x > 1$ e per ogni $x < -1$

[Rigel1]

Ti basta dimostrare che
\[
(1)\qquad \sin x \leq x\qquad \forall x\in (0, \pi/2),
\]
dal momento che per \(x=0\) la disuguaglianza è ovvia e per \(x\in (-\pi/2, 0)\) si ottiene dalla (1) tenendo conto che le due funzioni sono dispari.
Sia dunque \(x\in (0, \pi/2)\); sulla circonferenza goniometrica indica con \(P = (\cos x, \sin x)\) il punto tale che la semiretta passante per l'origine \(O\) e per \(P\) forma un angolo di \(x\) radianti col semiasse \(x\) positivo.
Sia poi \(A = (1,0)\).
Il triangolo \(OAP\) ha area minore di quella del settore circolare \(OAP\); il confronto fra queste due aree fornisce
\[
\frac{1 \cdot \sin x}{2} < \frac{x}{2}\,,
\]
da cui segue la (1).

[cicalino1]

Grazie