Disuguaglianza

[Spook]

Perchè $ ||x{::}_n-ca{::}_n||^2=||x{::}_n||^2-|x{::}_n|^2+|x{::}_n-c|^2<= ||x-x{::}_n a{::}_n||^2 $ , se {an} è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert, e gli an sono in somma diretta?

[j18eos]

Non né capisco di queste cose, per chi né capisce potresti specificare chi sia la x nell'ultimo termine?

[gugo82]

Sinceramente non capisco cosa vuoi chiedere. Chiarisci un po' la notazione.

[Spook]

{an} è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert V, ed x un suo elemento. Quello che si vuole provare nel Th è che V è la somma diretta su n di e $ x=sum_(n = 1)^(oo )P{::}_(<>) x $ . Spero di essere stato chiaro.

[Spook]

Visto che le informazioni che io fornisco sembrano poco chiare, potete scaricare il file a questo indirizzo:

http://www.megaupload.com/?d=DJVPSK8C

Quello che non capisco è la dimostrazione del Teorema della prima pagina (cioè l'osservazione 2), in particolare la disuguaglianza scritta a fine pagina. Ora penso di essere stato abbastanza chiaro.

[gugo82]

"Spook":Visto che le informazioni che io fornisco sembrano poco chiare

Leva il "sembrano", sono.
Ti avevamo chiesto di chiarire la notazione, ma il chiarimento che hai dato mancava di informazioni: ad esempio, cosa fossero [tex]$x_n$[/tex] e [tex]$c$[/tex] non era dato saperlo, né quello che si vuole provare è, alla fin fine, ciò che hai detto.

Cerchiamo allora di chiarire l'arcano.
Dallo scan si intuisce che [tex]$x_n$[/tex] è il coefficiente di Fourier di [tex]$x$[/tex] in [tex]$a_n$[/tex] (cioè [tex]$x_n:=\langle x,a_n\rangle$[/tex]) e che [tex]$c$[/tex] è una costante arbitraria; inoltre si capisce che, fondamentalmente, quell'osservazione è scritta solo per farti notare che un certo vettore, ossia [tex]$x_n\ a_n$[/tex], è la proiezione ortogonale di [tex]$x$[/tex] su [tex]$\langle a_n\rangle =\text{span} \{ a_n\}$[/tex].

Vediamo adesso come procedere: posto [tex]$\overline{x}=x-x_n\ a_n$[/tex] si ha evidentemente [tex]$\overline{x} \in \text{span} \{ a_n\}^\bot$[/tex] (infatti il prodotto scalare [tex]$\langle \overline{x} ,a_n\rangle$[/tex] è nullo) e perciò:

[tex]$\lVert x- c\ a_n\rVert_2^2 = \lVert x_n\ a_n + \overline{x} -c\ a_n\rVert_2^2$[/tex]
[tex]$=\lVert (x_n-c)\ a_n +\overline{x}\rVert_2^2$[/tex]
[tex]$=\langle (x_n-c)\ a_n +\overline{x}, (x_n-c)\ a_n +\overline{x}\rangle$[/tex]
[tex]$=|x_n-c|^2+\lVert \overline{x} \rVert_2^2$[/tex]
[tex]$=|x_n-c|^2+\lVert x-x_n\ a_n \rVert_2^2$[/tex];

da ciò segue immediatamente che [tex]$\lVert x- c\ a_n\rVert_2^2 \geq \lVert x-x_n\ a_n \rVert_2^2$[/tex]; da quanto appena dimostrato e dalla stessa definizione di proiezione ortogonale segue che [tex]$x_n\ a_n$[/tex] è effettivamente la proiezione ortogonale di [tex]$x$[/tex] su [tex]$\text{span} \{ a_n\}$[/tex].
Ne consegue che il proiettore [tex]$P_n:H\to \text{span} \{ a_n\}$[/tex] è l'operatore definito ponendo:

[tex]$\forall x\in H,\ P_nx := \langle x,a_n\rangle\ a_n$[/tex]

([tex]$H$[/tex] è lo spazio di Hilbert).

Ciò però non dimostra affatto che [tex]$H=\bigoplus_{n=1}^{+\infty} \text{span} \{ a_n\}$[/tex]; per questo serve fare un po' più di fatica.

[Spook]

Non capisco. A me la seconda parte del teorema sembra semplice. E' un corollario diretto di un teorema sulla caratterizzazione di n spazi vettoriali in somma diretta. Non è così forse?

[gugo82]

Se il numero dei sottospazi fosse finito, sì.
Ma di solito negli spazi di Hilbert i sistemi ortonormali sono almeno numerabili, quindi quella somma diretta è qualcosa con infiniti "addendi" e ciò comporta alcune difficoltà formali, se non ricordo male.

[Spook]

Vabe ma se vedi pure la dimostrazione sul file c'è scritto l'unicità della decomposizione è poi ben nota.....come fa ad essere ben nota allora? Poi cmq nella dimostrazione che hai fatto non capisco perchè come si deduce da $ ||x{::}_(n)-ca{::}_(n)||^2 geq||x{::}_(n)-x{::}_(n) a{::}_(n)||^2 $ $
che la proiezione ortogonale di x è $ x{::}_(n)a{::}_(n) $ ?

[gugo82]

"Spook":Vabe ma se vedi pure la dimostrazione sul file c'è scritto l'unicità della decomposizione è poi ben nota... come fa ad essere ben nota allora?

Infatti non è l'unicità ad inquietare gli animi, quanto il fatto che la serie [tex]$\sum P_nx\ a_n =\sum \langle x,a_n\rangle \ a_n$[/tex] converga in [tex]$H$[/tex], se non ricordo male.

L'unicità viene fuori dalle proprietà del sistema ortonormale, ovviamente: invero se fosse [tex]$x=\sum_{n=1}^{+\infty} c_n\ a_n$[/tex] allora, moltiplicando scalarmente ambo i membri per [tex]$a_m$[/tex], si otterrebbe [tex]$\langle x,a_m\rangle =\sum_{n=1}^{+\infty} c_n\ \delta_{m,n} =c_m$[/tex] (qui [tex]$\delta_{m,n}$[/tex] è il simbolo di Kronecker). Pertanto i coefficienti di [tex]$x$[/tex] sono univocamente determinati.

"Spook":Poi cmq nella dimostrazione che hai fatto non capisco perchè come si deduce da $ ||x{::}_(n)-ca{::}_(n)||^2 geq||x{::}_(n)-x{::}_(n) a{::}_(n)||^2 $ $
che la proiezione ortogonale di x è $ x{::}_(n)a{::}_(n) $ ?

Dalla definizione di proiezione.
Ricordo che un punto [tex]$z$[/tex] è la proiezione di [tex]$x$[/tex] sul sottospazio chiuso [tex]$V\subseteq H$[/tex] se e solo se [tex]$ z\in V$[/tex] e [tex]$\lVert x-z \rVert = \min_{y\in V} \lVert x-y\rVert$[/tex]; in tal caso allora si ha pure [tex]$\langle x-z,y\rangle =0$[/tex] per ogni [tex]$y\in V$[/tex], cosicché [tex]$x-z\in V^\bot$[/tex] e per questo la proiezione è detta ortogonale.

Dalla disuguaglianza "incriminata" si ricava proprio che per ogni [tex]$y=c\ a_n\in \text{span} \{ a_n\}$[/tex] si ha:

[tex]$\lVert x-y\rVert \geq \lVert x-x_n\ a_n\rVert \quad \Rightarrow \quad \inf_{y\in \text{span} \{ a_n\}} \lVert x-y\rVert \geq \lVert x-x_n\ a_n\rVert$[/tex];

ma d'altra parte è [tex]$\lVert x-x_n\ a_n\rVert \geq \inf_{y\in \text{span} \{ a_n\}} \lVert x-y\rVert$[/tex] (perchè [tex]$x_n\ a_n \in \text{span} \{ a_n\}$[/tex]), quindi [tex]$\lVert x-x_n\ a_n\rVert =\inf_{y\in \text{span} \{ a_n\}} \lVert x-y\rVert =\min_{y\in \text{span} \{ a_n\}} \lVert x-y\rVert$[/tex] e perciò [tex]$x_n\ a_n$[/tex] è la proiezione ortogonale di [tex]$x$[/tex] su [tex]$\text{span} \{ a_n\}$[/tex].