Disuguaglianza
Ho dei dubbi su una disuguaglianza che non dovrebbe richiedere nessuna tecnica particolare ma di cui non sono per niente convinto. Cerco di essere il più chiaro possibile.
Siano
\[
p>1 \quad d\ge 1\quad n\in Z_+ \quad c>0
\]
Allora esiste $C_1$ dipendente al più da $d$ (e direi forse da c) tale che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
(Addirittura la disuguaglianza potrebbe essere una uguaglianza).
Vi dico cosa ho fatto:
Dato che (considerando i dati iniziali)
\[
1+2^{n+1}\le 2^{n+2} \quad\quad\quad \text{e} \quad\quad\quad \frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1}\le \left(\frac{d}{d-2}\right)^n
\]
e che le due frazioni dentro la parentesona di base sono maggiori di 1 si ha che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le c\left[2^{n+2} \left(\frac{d}{d-2}\right)^n\right]^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} =
c(2^2)^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^2\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} \le c_0 \left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}
\]
con $c_0$ dipendente da $d$.
Ora però se faccio l'ultimo passaggio per ottenere la tesi mi esce una dipendenza da $n$ della costante e questo non mi va bene.
CIoè dovrei trovare $C_1$ tale che
\[
c_0\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
ma chiaramente, in generale, non è possibile.
Siano
\[
p>1 \quad d\ge 1\quad n\in Z_+ \quad c>0
\]
Allora esiste $C_1$ dipendente al più da $d$ (e direi forse da c) tale che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
(Addirittura la disuguaglianza potrebbe essere una uguaglianza).
Vi dico cosa ho fatto:
Dato che (considerando i dati iniziali)
\[
1+2^{n+1}\le 2^{n+2} \quad\quad\quad \text{e} \quad\quad\quad \frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1}\le \left(\frac{d}{d-2}\right)^n
\]
e che le due frazioni dentro la parentesona di base sono maggiori di 1 si ha che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le c\left[2^{n+2} \left(\frac{d}{d-2}\right)^n\right]^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} =
c(2^2)^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^2\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} \le c_0 \left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}
\]
con $c_0$ dipendente da $d$.
Ora però se faccio l'ultimo passaggio per ottenere la tesi mi esce una dipendenza da $n$ della costante e questo non mi va bene.
CIoè dovrei trovare $C_1$ tale che
\[
c_0\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
ma chiaramente, in generale, non è possibile.
Risposte
Devi stimare \(c_0\) in modo uniforme rispetto a \(n\). Penso proprio che sia possibile;
\[
4^{2\frac{(d-2)^n}{d^n}} \le 16, \]
perché \((d-2)/d<1\). L'altro fattore non dipende da \(n\).
\[
4^{2\frac{(d-2)^n}{d^n}} \le 16, \]
perché \((d-2)/d<1\). L'altro fattore non dipende da \(n\).
Ma chi ha scritto una disuguaglianza così brutta?
Posto:
\[
D_n := p \left( \frac{d}{d-2}\right)^n
\]
e fatte un po' di semplificazioni, la disuguaglianza equivale a:
\[
c^{\frac{D_n}{n p}}\ \left[ \frac{D_n}{D_n - 1}\ (2^{n+1} +1)\right]^{\frac{2}{n p}} \leq C_1\; .
\]
Se $d>2$, si ha $d/(d-2)>1$ e $D_n -> +oo$ esponenzialmente, perciò il primo membro è divergente se $c>1$ e convergente se $0
Se $1<=d<2$ si ha $d/(d-2) < -1$ e dunque $D_n$ non ha limite, perchè $D_{2h} -> +oo$ e $D_{2h+1} -> -oo$ esponenzialmente; ne viene che se $c>1$ il primo membro ha una estratta divergente (quella di posto pari) mentre se $0< c < 1$ c'è ancora un'estratta divergente (quella di posto dispari) quindi $C_1$ non lo trovi per $c!= 1$; se invece $c=1$ la successione al primo membro è convergente e tutto funziona come prima.
Morale della favola: $C_1$ esiste solo se $c=1$ e $d!= 2$ oppure se $c<1$ e $d>2$.
Posto:
\[
D_n := p \left( \frac{d}{d-2}\right)^n
\]
e fatte un po' di semplificazioni, la disuguaglianza equivale a:
\[
c^{\frac{D_n}{n p}}\ \left[ \frac{D_n}{D_n - 1}\ (2^{n+1} +1)\right]^{\frac{2}{n p}} \leq C_1\; .
\]
Se $d>2$, si ha $d/(d-2)>1$ e $D_n -> +oo$ esponenzialmente, perciò il primo membro è divergente se $c>1$ e convergente se $0
Se $1<=d<2$ si ha $d/(d-2) < -1$ e dunque $D_n$ non ha limite, perchè $D_{2h} -> +oo$ e $D_{2h+1} -> -oo$ esponenzialmente; ne viene che se $c>1$ il primo membro ha una estratta divergente (quella di posto pari) mentre se $0< c < 1$ c'è ancora un'estratta divergente (quella di posto dispari) quindi $C_1$ non lo trovi per $c!= 1$; se invece $c=1$ la successione al primo membro è convergente e tutto funziona come prima.
Morale della favola: $C_1$ esiste solo se $c=1$ e $d!= 2$ oppure se $c<1$ e $d>2$.
Ora leggo le risposte, ma mi sono accorto che manca un segno meno nell'ultima disuguaglianza.
Correggo. modificandolo (scusatemi se vi ho confuso).
Correggo. modificandolo (scusatemi se vi ho confuso).
Vabbé, mi ero anche accorto che quando gli esponenti sono negativi il ragionamento non fila proprio liscio... Ora lo riguardo comunque. 
P.S.: Innanzitutto, però, ripulisci la disuguglianza... Quel $(2^(-n-1)+1)/(2^(-n-1))$ non si può proprio vedere!
P.S.: Innanzitutto, però, ripulisci la disuguglianza... Quel $(2^(-n-1)+1)/(2^(-n-1))$ non si può proprio vedere!
In effetti il libro considera il caso $d\ge 3$ pero' come pensavo anche io la disuguaglianza vale nel caso $c\le 1$.
Non mi pare di poter supporre che $c\le 1$.
Non so proprio che pesci pigliare, grazie comunque.
("correggo" la frazione nel post iniziale)
Non mi pare di poter supporre che $c\le 1$.
Non so proprio che pesci pigliare, grazie comunque.
("correggo" la frazione nel post iniziale)
Riferimento?
Così, se posso, ci do un'occhiata...
Così, se posso, ci do un'occhiata...
Partial Differential Equation di Jurgen Jost
La pagina è 362 (ma immagino dipenda anche dall'edizione)
Comunque si trova più o meno nelle prime 20 pagine del capitolo:
The Moser Iteration Method and the Regularity Theorem of de Giorgi and Nash.
La pagina è 362 (ma immagino dipenda anche dall'edizione)
Comunque si trova più o meno nelle prime 20 pagine del capitolo:
The Moser Iteration Method and the Regularity Theorem of de Giorgi and Nash.
"Wilde":
Partial Differential Equation di Jurgen Jost
La pagina è 362 (ma immagino dipenda anche dall'edizione)
Infatti quando si da un riferimento bibliografico di un libro si indica anche la casa editrice e l'edizione. Tradizionalmente si includono altre informazioni (anno, città, ecc...) ma oggi con Internet non sono più necessarie.
Scusatemi, c'è scritto third edition, springer, GTM
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