Disugaglianza con integrale definito
Ho trovato questo esercizio che non riesco a risolvere:
Verificare che:
$ 17/18<= int_(0)^(1) (senx)/(x)dx <= 1 $
La relazione è intuitiva ma non reisco a dimostrarla concretamente,ho fatto qualche tentativo con il teorema di Lagrange ma con scarsi risultati,qualcuno mi aiuta? Grazie....
Verificare che:
$ 17/18<= int_(0)^(1) (senx)/(x)dx <= 1 $
La relazione è intuitiva ma non reisco a dimostrarla concretamente,ho fatto qualche tentativo con il teorema di Lagrange ma con scarsi risultati,qualcuno mi aiuta? Grazie....
Risposte
Sviluppo in serie del seno... 
quindi diciamo che in teoria basta che scriva. perl o sviluppo in serie di maclaurin della funzione senx avremo:
$ senx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!).... $
O c'é un modo per,diciamo definire,la soluzione dell'esrcizio in modo più completo?
$ senx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!).... $
O c'é un modo per,diciamo definire,la soluzione dell'esrcizio in modo più completo?
"DaniTB":
quindi diciamo che in teoria basta che scriva. perl o sviluppo in serie di maclaurin della funzione senx avremo:
$ senx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!).... $
"In teoria" niente... Ti ho dato un suggerimento.
A te cercare di sfruttarlo al meglio.
"DaniTB":
O c'é un modo per,diciamo definire,la soluzione dell'esrcizio in modo più completo?
Certo che c'è. E sta a te provare a trovarla.
Allora ho proseguito così:
$ senx=sum_(k = 0\) (-1)^nx^(2k+1)/((2k+1)!) +Rn $
Da cui $ (senx)/(x) = sum_(k = 0\) ((-1)^nx^(2k+1)/((2k+1)!))/x +Rn $
e quindi integrando tra 0 ed 1:
$ 17/18<= 1/((2k+1)(2k+1)!)<= 1 $
Ma qui mi sono bloccato,questa disuguaglianza non è vera per ogni k e non so come procedere per dimostrare la tesi,mi puoi dire se sono almeno sulla strada giusta?e come devo continuare?
$ senx=sum_(k = 0\) (-1)^nx^(2k+1)/((2k+1)!) +Rn $
Da cui $ (senx)/(x) = sum_(k = 0\) ((-1)^nx^(2k+1)/((2k+1)!))/x +Rn $
e quindi integrando tra 0 ed 1:
$ 17/18<= 1/((2k+1)(2k+1)!)<= 1 $
Ma qui mi sono bloccato,questa disuguaglianza non è vera per ogni k e non so come procedere per dimostrare la tesi,mi puoi dire se sono almeno sulla strada giusta?e come devo continuare?
Ma perché devi usare "ogni \(k\)"?
Prova solo con \(k=0,1\)...
In altre parole, è universalmente noto che per \(x\geq 0\) si ha \(\sin x\leq x\) e questa disuguaglianza ti porta dritto dritto alla disuguaglianza \(\text{integralaccio} \leq 1\).
Ora, non è che se per caso risulta \(x-\frac{1}{6}\ x^3\leq \sin x\) per \(x\geq 0\), ottieni pure la disuguaglianza \(\frac{17}{18}\leq \text{integralaccio}\)?
E, nel caso ciò accadesse, come pensi di attrezzarti per dimostrare che \(x-\frac{1}{6}\ x^3\leq \sin x\) per \(x\geq 0\)?
Prova solo con \(k=0,1\)...
In altre parole, è universalmente noto che per \(x\geq 0\) si ha \(\sin x\leq x\) e questa disuguaglianza ti porta dritto dritto alla disuguaglianza \(\text{integralaccio} \leq 1\).
Ora, non è che se per caso risulta \(x-\frac{1}{6}\ x^3\leq \sin x\) per \(x\geq 0\), ottieni pure la disuguaglianza \(\frac{17}{18}\leq \text{integralaccio}\)?
E, nel caso ciò accadesse, come pensi di attrezzarti per dimostrare che \(x-\frac{1}{6}\ x^3\leq \sin x\) per \(x\geq 0\)?
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