Distribuzioni temperate - integrazione
Buon giorno,
esiste un modo per definire l'integrale di una funzione a valori di distribuzioni temperate, in modo da poter dar senso alla scrittura [tex]$\int_{\mathbb{R}} F$[/tex], ove [tex]$F : \mathbb{R} \to \mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex], sotto eventuali condizioni su [tex]$F$[/tex] ?
Grazie!
esiste un modo per definire l'integrale di una funzione a valori di distribuzioni temperate, in modo da poter dar senso alla scrittura [tex]$\int_{\mathbb{R}} F$[/tex], ove [tex]$F : \mathbb{R} \to \mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex], sotto eventuali condizioni su [tex]$F$[/tex] ?
Grazie!
Risposte
Per funzioni a valori in uno spazio di Banach si può definire l'integrale di Bochner; nel tuo caso non ti saprei rispondere su due piedi perché non mi è mai capitato di incontrarlo.
Vediamo se qualcun altro ne sa qualcosa.
Vediamo se qualcun altro ne sa qualcosa.
Il problema è che [tex]$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex] non è uno spazio troppo "buono", poiché è il duale dello spazio vettoriale topologico [tex]$\mathcal{S} (\mathbb{R})$[/tex] che non è di Banach (pur essendo metrizzabile e completo); d'altra parte non conosco nemmeno a fondo le proprietà topologiche di [tex]$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex] per dare un'opinione seria sulla questione.
Per questi fatti si dovrebbe cercare innanzitutto cercare di capire che razza di topologia si può mettere su [tex]$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex] (e per questo bisogna sfogliare proprio il libro di Schwarz, mi sà), poi bisogna vedere come si può definire l'integrale per funzioni del tipo che segnalava rbtqwt (ad esempio, se [tex]$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex] fosse normabile si potrebbe fare qualcosa a là Bochner... Ma ci sono integrali adatti ad altri tipi di situazione).
Per questi fatti si dovrebbe cercare innanzitutto cercare di capire che razza di topologia si può mettere su [tex]$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex] (e per questo bisogna sfogliare proprio il libro di Schwarz, mi sà), poi bisogna vedere come si può definire l'integrale per funzioni del tipo che segnalava rbtqwt (ad esempio, se [tex]$\mathcal{S}^\prime (\mathbb{R})$[/tex] fosse normabile si potrebbe fare qualcosa a là Bochner... Ma ci sono integrali adatti ad altri tipi di situazione).
Grazie per le risposte.
Avevo pensato all'integrale di Bochner e a quello di Pettis, però non ho trovato alcun articolo né altra informazione a riguardo, relativamente al mio caso!
Avevo pensato all'integrale di Bochner e a quello di Pettis, però non ho trovato alcun articolo né altra informazione a riguardo, relativamente al mio caso!
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