Distribuzioni temperate
Perchè lo spazio $S$* delle distribuzioni temperate contiene tutti gli
spazi $L^p$, per $p\in[1,\infty]$?
spazi $L^p$, per $p\in[1,\infty]$?
Risposte
Perché contiene $L^1_{loc}$, che, essendo un $loc$, contiene tutti gli spazi $L^p_{loc}$ (puoi facilmente convincerti che vale la stessa catena di inclusioni che si ha per gli $L^p$ di un limitato).
ok... grazie...
non esisterò ad esporre altri dubbi!!
non esisterò ad esporre altri dubbi!!
P.S. ovviamente $L^p_{loc}$ contiene $L^p$! mi sono dimenticata l'ultimo passo!
Ops! Ti ho detto una cavolata!
Non contiene $L^1_{loc}$, perché devi prescrivere delle condizioni di crescita all'infinito (al più come una potenza).
Però puoi dire che il comportamento sui limitati ti basta controllarlo con $L^1_{loc}$ (che contiene $L^p$), mentre all'infinito ti basta che la funzione non cresca troppo (e in $L^p$ al più ti può succedere che vada come una costante quando consideri il caso $p=\infty$).
Non contiene $L^1_{loc}$, perché devi prescrivere delle condizioni di crescita all'infinito (al più come una potenza).
Però puoi dire che il comportamento sui limitati ti basta controllarlo con $L^1_{loc}$ (che contiene $L^p$), mentre all'infinito ti basta che la funzione non cresca troppo (e in $L^p$ al più ti può succedere che vada come una costante quando consideri il caso $p=\infty$).
Strada alternativa (forse più semplice):
$S$ è contenuto in $L^q$ per ogni $1 \le q < \infty$ e quindi il suo duale contiene il duale di $L^q$ e cioè tutti gli $L^p$ per $1 < p \le \infty$.
Inoltre $S$ è contenuto in $C$ (funzioni continue) e quindi il suo duale contiene il duale di $C$, che (per uno dei teoremi di rappresentazioni di Riesz) è lo spazio delle misure di Borel complesse regolari su $RR^n$, che contiene $L^1$.
$S$ è contenuto in $L^q$ per ogni $1 \le q < \infty$ e quindi il suo duale contiene il duale di $L^q$ e cioè tutti gli $L^p$ per $1 < p \le \infty$.
Inoltre $S$ è contenuto in $C$ (funzioni continue) e quindi il suo duale contiene il duale di $C$, che (per uno dei teoremi di rappresentazioni di Riesz) è lo spazio delle misure di Borel complesse regolari su $RR^n$, che contiene $L^1$.
mmm ok
P.S. anche senza tirare fuori le misure di Borel il fatto che il duale di $C \cap L^\infty$ contenga $L^1$ è ovvio
Infatti, fissata $g \in L^1$, se definiamo per $f \in C \cap L^\infty$ il funzionale
$T(f)=\int {f g}$
otteniamo un oggetto lineare e continuo sullo spazio $C \cap L^\infty$.
Infatti, fissata $g \in L^1$, se definiamo per $f \in C \cap L^\infty$ il funzionale
$T(f)=\int {f g}$
otteniamo un oggetto lineare e continuo sullo spazio $C \cap L^\infty$.
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