Distribuzioni, prodotto delta dirac
Salve a tutti,
mi sono posto il dubbio relativamente al prodotto di due distribuzioni delta di dirac di cui una traslata rispetto all'altra, quindi risolvere $\delta(x)\delta(x-k)$ con $k \ne 0$.
Ho pensato quindi che essendo la delta di dirac a supporto compatto con supporto coincidente al singolo punto in cui essa è centrata, il prodotto tra due delta traslate l'una rispetto l'altra è nullo. Però volevo sapere se attraverso la definizione o altro, ma in modo più formale sia possibile verificarlo.
mi sono posto il dubbio relativamente al prodotto di due distribuzioni delta di dirac di cui una traslata rispetto all'altra, quindi risolvere $\delta(x)\delta(x-k)$ con $k \ne 0$.
Ho pensato quindi che essendo la delta di dirac a supporto compatto con supporto coincidente al singolo punto in cui essa è centrata, il prodotto tra due delta traslate l'una rispetto l'altra è nullo. Però volevo sapere se attraverso la definizione o altro, ma in modo più formale sia possibile verificarlo.
Risposte
Prova a testare contro una funzione test.
intendi $\forall v \in D(\R^n)$ $<\delta(x)\delta(x-k), v(x)> = \int_{\R^n} \delta(x)\delta(x-k)v(x)dx$.
Ma poi da qui cosa faccio?! pensavo di utilizzare una successione che approssimi la delta.... però essendo generica questa successione di funzioni non so come arrivare a dire che si ha zero...
Se considero ad esempio $u \in L^1(\R^n)$ tale che $\int_{\R^n} u(x)\dx = 1$ so che $u_w(x)=w^n u(wx)$ per $w \rightarrow +\infty$ converge a $\delta(x)$... quindi potrei vedere
$\int_{\R^n} \delta(x)\delta(x-k)v(x)dx = lim_{w} \int_{\R^n} u_w(x) u_w(x-k)v(x)dx = lim_{w} \int_{\R^n} w^{2n}u(wx) u(w(x-k))v(x)dx$ ma da qui poi non so come sbrogliare la cosa.....
anche facendo il cambio di variabile $y=wx$ arrivo ad ottenere $ lim_{w} \int_{\R^n} w^{n}u(y) u(y-wk)v(y/w)dy$ ma poi da nn riesco ad applicare la convergenza dominata.....
facendo un'ipotesi ulteriore sulla $u$ come ad esempio il fatto che il suo supporto sia compatto, allora si riesce a trovare un certo $w_0$ oltre il quale il prodotto è tra $u(y)u(y-wk) = 0$ quindi si può maggiorare il modulo della funzione integranda con $w_0^n|u(y)|*||v(y)||_{L^\infty} \in L^1(\R^n)$, quindi dato che il limite puntuale è proprio $0$ allora applicando la convergenza dominata si arriva al risultato... però mi sembra di essere troppo restrittivo.
Ma poi da qui cosa faccio?! pensavo di utilizzare una successione che approssimi la delta.... però essendo generica questa successione di funzioni non so come arrivare a dire che si ha zero...
Se considero ad esempio $u \in L^1(\R^n)$ tale che $\int_{\R^n} u(x)\dx = 1$ so che $u_w(x)=w^n u(wx)$ per $w \rightarrow +\infty$ converge a $\delta(x)$... quindi potrei vedere
$\int_{\R^n} \delta(x)\delta(x-k)v(x)dx = lim_{w} \int_{\R^n} u_w(x) u_w(x-k)v(x)dx = lim_{w} \int_{\R^n} w^{2n}u(wx) u(w(x-k))v(x)dx$ ma da qui poi non so come sbrogliare la cosa.....
anche facendo il cambio di variabile $y=wx$ arrivo ad ottenere $ lim_{w} \int_{\R^n} w^{n}u(y) u(y-wk)v(y/w)dy$ ma poi da nn riesco ad applicare la convergenza dominata.....
facendo un'ipotesi ulteriore sulla $u$ come ad esempio il fatto che il suo supporto sia compatto, allora si riesce a trovare un certo $w_0$ oltre il quale il prodotto è tra $u(y)u(y-wk) = 0$ quindi si può maggiorare il modulo della funzione integranda con $w_0^n|u(y)|*||v(y)||_{L^\infty} \in L^1(\R^n)$, quindi dato che il limite puntuale è proprio $0$ allora applicando la convergenza dominata si arriva al risultato... però mi sembra di essere troppo restrittivo.
oppure supponendo $u \in L^2(\R^n)$ come ipotesi aggiuntiva, senza introdurre il supporto compatto per la $u$, il prodotto $u(y)u(y-wk) \in L^1(\R^n) \forall w$... ma anche qui... sono sempre ipotesi aggiunte......
up....
"Ska":
Salve a tutti,
mi sono posto il dubbio relativamente al prodotto di due distribuzioni delta di dirac di cui una traslata rispetto all'altra, quindi risolvere $\delta(x)\delta(x-k)$ con $k \ne 0$.
Ho pensato quindi che essendo la delta di dirac a supporto compatto con supporto coincidente al singolo punto in cui essa è centrata, il prodotto tra due delta traslate l'una rispetto l'altra è nullo. Però volevo sapere se attraverso la definizione o altro, ma in modo più formale sia possibile verificarlo.
Io farei così..Ipotizziamo per il momento di lavorare con ue funzioni $f(x)$ e $g(x)$ che inducono ognuna ad una distribuzione.
Allora il prodotto sarà:
$
Risolvendo per parti abbiamo:
$ int_RR f(x)*g(x) v(x) dx= (int f(x) dx)* g(x)*v(x) |_(-oo)^(+oo)- int_RR (int f(x) dx) * (g(x)*v(x))'dx.$
Ora facciamo questa ssociazione:
$f(x)=delta(x)$
$g(x)=delta(x-k)$.
Quindi:
$ (int delta(x) dx)* delta(x-k)*v(x)|_(-oo)^(+oo)- int_RR (int delta(x) dx) * (delta(x-k)*v(x))'dx$.
Ora ricordando che $int delta(x) dx=1$ si ha il risultato.
Non so perchè, ma mi piace poco
Comunque, stavo ragionando....
$\int_{RR^n} w^{n}u(y) u(y-wk)v(y/w)dy = w^n \int_{RR^n} u(y)v(y/w)u(y-wk)dy$ calcolando il modulo dell'integrale e maggiorando arrivo ad ottenere
$|\int_{RR^n} u(y)v(y/w)u(y-wk)dy| \le ||v||_{L^\infty}\int_{RR^n} |u(y)||u(y-wk)|dy$. Per compattezza $||v||_{L^\infty} = M$, poi considerando $\rho(y)=u(-y)$ si ha
$M\int_{RR^n} |u(y)| |\rho(wk-y)|dy = M (|u|\star|\rho|)(wk)$, dato che $u,\rho \in L^1(RR^n)$ per il teorema di Young, la convoluzione è ben definita inoltre è una funzione in $L^1(RR^n)$, quindi per compattezza chiamando $\gamma (z)= (|u|\star|\rho|)(z)$
Ora rimarrebbe $\lim_w w^n \gamma(wk)$ che "moralmente" vale zero, poichè $\gamma \in L^1(RR^n)$ ma onestamente non so dimostrarlo... sempre supponendo la correttezza di quanto detto sopra....
Spero in una risposta.
Comunque, stavo ragionando....
$\int_{RR^n} w^{n}u(y) u(y-wk)v(y/w)dy = w^n \int_{RR^n} u(y)v(y/w)u(y-wk)dy$ calcolando il modulo dell'integrale e maggiorando arrivo ad ottenere
$|\int_{RR^n} u(y)v(y/w)u(y-wk)dy| \le ||v||_{L^\infty}\int_{RR^n} |u(y)||u(y-wk)|dy$. Per compattezza $||v||_{L^\infty} = M$, poi considerando $\rho(y)=u(-y)$ si ha
$M\int_{RR^n} |u(y)| |\rho(wk-y)|dy = M (|u|\star|\rho|)(wk)$, dato che $u,\rho \in L^1(RR^n)$ per il teorema di Young, la convoluzione è ben definita inoltre è una funzione in $L^1(RR^n)$, quindi per compattezza chiamando $\gamma (z)= (|u|\star|\rho|)(z)$
Ora rimarrebbe $\lim_w w^n \gamma(wk)$ che "moralmente" vale zero, poichè $\gamma \in L^1(RR^n)$ ma onestamente non so dimostrarlo... sempre supponendo la correttezza di quanto detto sopra....
Spero in una risposta.
up....
nobody can help me?
Sfruttare la densità di $D(RR^n)$ rispetto a $L^1(RR^n)$ forse completa il tutto, le funzioni in $D$ sono $C^\infty$ a supporto compatto, la convoluzione tra funzioni a supporto compatto ha supporto chiuso e limitato, quindi nulla al di fuori di un certo compatto. Quindi al limite di $w\rightarrow +\infty$ si ha che $w^n\gamma(wk) \rightarrow 0$.
Ora per densità questo dovrebbe valere anche per le funzioni $L^1$ quindi poi si ottiene l'uguaglianza con la distribuzione $\delta(x)\delta(x-k)$.
È corretto?
Ora per densità questo dovrebbe valere anche per le funzioni $L^1$ quindi poi si ottiene l'uguaglianza con la distribuzione $\delta(x)\delta(x-k)$.
È corretto?
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