Distribuzioni e prodotto di convoluzione

[Boris1]

salve a tutti.
volevo chiedere chiarimenti riguardo il prodotto di convoluzione tra distribuzioni, perchè ho trovato sul mio testo un esempio che non comprendo affatto:

se $T$ è una distribuzione e $\psi$ una funzione test, la convoluzione tra $T$ e $\psi$ è la funzione di classe $C^(\infty)$ definita da:
$t in RR ->$

da quel che ho capito io, $T$ è un funzionale lineare definito sullo spazio delle funzioni test, quindi "prende funzioni test e restituisce valori in $CC$" (molto grossolanamente).

La convoluzione tra due distribuzioni$T$ ed $S$, delle quali $S$ a supporto compatto, mi è stata definita in questo modo(permettetemi di usare $o$ per rappresentare il prodotto di convoluzione che non sono riuscito a trovare):

$$$=>$

Quindi la convoluzione tra due distribuzioni è il funzionale che ad ogni $\psi$ associa il valore della distribuzione $T$ calcolata sulla funzione test $t in RR ->$

Ritornando all'esempio del libro, a meno che non esista un'altra definizione di convoluzione tra distribuzioni e funzioni, io interpreto il prodotto tra $T$ e la funzione test $\psi$ come il prodotto tra $T$ e la distribuzione regolare $\psi$, e di conseguenza dovrebbe trattarsi ancora di una distribuzione, non di una funzione..

dov'è che sbaglio?
grazie dell'attenzione

[dissonance]

Non sbagli. La prima definizione produce una funzione (anzi, una funzione di classe $C^infty$ se non ricordo male); la seconda definizione produce una distribuzione. Intepretando il risultato della prima definizione come una distribuzione, ottieni che le due definizioni sono equivalenti se $S$ è una funzione test.

P.S.: Che libro leggi? Gilardi?

[Boris1]

credo di aver capito.. in pratica $To\psi=$$<>>>$$=<>$, che è una distribuzione, interpretando $\psi$ come tale. Poi in virtù dell'isomorfismo tra funzioni localmente sommabili e distribuzioni regolari, si può interpretare quella $\psi$ come funzione, ed a tal punto $<>$ sarebbe la funzione che ad ogni $t$ associa il valore di $T$ su $\psi(t-\tau)$..vero?
quanto non mi piace questa storia della notazione imprecisa... l'idea di dover indicare una distribuzione definita su $D$ con $T(t)$, come se lo fosse in $RR$, mi fa fare un bel pò di confusione. Eppure sembra che semplifichi parecchio le cose...

P.S. Il libro è del mio professore Luigi Greco, insegna alla Federico II. Gilardi non sono riuscito proprio a procurarmelo.. come avevi detto non è più in vendita ed all'università ne posseggono due o tre copie, ma solo consultabili in biblioteca..