Distribuzioni
come faccio a determinare la derivata seconda distribuzionale della seguente funzione? |t-1|
Risposte
Comincia a fare un disegnigno della funzione e della sua derivata prima; poi uno di quello della derivata seconda, in cui devi ricordarti che ad ogni salto della derivata prima corrisponde una [tex]$\delta$[/tex] di pari ampiezza.
Ad esempio: il gradino unitario:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=2;
axes("","");
stroke="blue"; line([-2,0],[0,0]); dot([0,1]); line([0,1],[2,1]);[/asvg]
ha derivata:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=2;
axes("",""); stroke="red"; line([-2,0],[2,0]); marker="arrow"; line([0,0],[0,1]);[/asvg]
Ad esempio: il gradino unitario:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=2;
axes("","");
stroke="blue"; line([-2,0],[0,0]); dot([0,1]); line([0,1],[2,1]);[/asvg]
ha derivata:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=2;
axes("",""); stroke="red"; line([-2,0],[2,0]); marker="arrow"; line([0,0],[0,1]);[/asvg]
Questo metodo sarà anche facile e pratico ma non sono capace a risolverlo in questo modo.Comunque grazie mille per la risposta,siete sempre molto gentili!
Scusa dpsngl (che nick!), ma non vedo cosa ci sia di tanto difficile.
Voglio dire, basta fare un grafico e guardare cosa succede derivando.
Nel tuo caso hai [tex]$f(t)=|t-1|$[/tex] che ha il grafico in figura:
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-1;ymax=4;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; plot("abs(x-1)",-3,4);[/asvg]
Visto che la [tex]$f$[/tex] è continua e derivabile q.o., la derivata distribuzionale coincide con quella classica (dove esiste): tale derivata è:
[tex]$f^\prime (x):=\begin{cases} -1 &\text{, se $x<1$} \\ 1 &\text{, se $x>1$}\end{cases}$[/tex]
ed ha il grafico che riporto qui sotto:
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-1;ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; line([-3,-1],[1,-1]); line([1,1],[4,1]);[/asvg]
La [tex]$f^\prime$[/tex] è derivabile q.o. (ed ha derivata q.o. nulla) ma presenta una discontinuità di prima specie in [tex]$t=1$[/tex], con salto di discontinuità uguale a [tex]$\sigma(1)=\lim_{t\to 1^+} f^\prime (t) -\lim_{t\to 1^-} f^\prime (t)=1-(-1)=2$[/tex]: pertanto la derivata distribuzionale di [tex]$f^\prime$[/tex], ossia la derivata distribuzionale seconda di [tex]$f$[/tex], è la delta di Dirac centrata in [tex]$1$[/tex] avente ampiezza pari a [tex]$\sigma(1)$[/tex], ossia [tex]$f^{\prime \prime} (t)=2\delta (t-1)$[/tex]:
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-1;ymax=4;
axes("","");
stroke="purple"; line([-3,0],[4,0]);
marker="arrow"; line([1,0],[1,2]);[/asvg]
Detta rozzamente, la regola pratica è questa: se in [tex]$t_0$[/tex] c'è un salto di discontinuità, alla derivata usuale si aggiunge una delta di Dirac centrata in [tex]$t_0$[/tex] con ampiezza pari al salto [tex]$\sigma (t_0):=\lim_{t\to t_0^+} f(t) -\lim_{t\to t_0^-} f(t)$[/tex].
Ti lascio un esercizio: determinare la derivata terza della distribuzione individuata dalla funzione:
[tex]$f(t):=\begin{cases} 1-x^2 &\text{, se $x<0$} \\ x^3 &\text{, se $x\geq 0$}\end{cases}$[/tex]
Voglio dire, basta fare un grafico e guardare cosa succede derivando.
Nel tuo caso hai [tex]$f(t)=|t-1|$[/tex] che ha il grafico in figura:
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-1;ymax=4;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; plot("abs(x-1)",-3,4);[/asvg]
Visto che la [tex]$f$[/tex] è continua e derivabile q.o., la derivata distribuzionale coincide con quella classica (dove esiste): tale derivata è:
[tex]$f^\prime (x):=\begin{cases} -1 &\text{, se $x<1$} \\ 1 &\text{, se $x>1$}\end{cases}$[/tex]
ed ha il grafico che riporto qui sotto:
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-1;ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; line([-3,-1],[1,-1]); line([1,1],[4,1]);[/asvg]
La [tex]$f^\prime$[/tex] è derivabile q.o. (ed ha derivata q.o. nulla) ma presenta una discontinuità di prima specie in [tex]$t=1$[/tex], con salto di discontinuità uguale a [tex]$\sigma(1)=\lim_{t\to 1^+} f^\prime (t) -\lim_{t\to 1^-} f^\prime (t)=1-(-1)=2$[/tex]: pertanto la derivata distribuzionale di [tex]$f^\prime$[/tex], ossia la derivata distribuzionale seconda di [tex]$f$[/tex], è la delta di Dirac centrata in [tex]$1$[/tex] avente ampiezza pari a [tex]$\sigma(1)$[/tex], ossia [tex]$f^{\prime \prime} (t)=2\delta (t-1)$[/tex]:
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-1;ymax=4;
axes("","");
stroke="purple"; line([-3,0],[4,0]);
marker="arrow"; line([1,0],[1,2]);[/asvg]
Detta rozzamente, la regola pratica è questa: se in [tex]$t_0$[/tex] c'è un salto di discontinuità, alla derivata usuale si aggiunge una delta di Dirac centrata in [tex]$t_0$[/tex] con ampiezza pari al salto [tex]$\sigma (t_0):=\lim_{t\to t_0^+} f(t) -\lim_{t\to t_0^-} f(t)$[/tex].
Ti lascio un esercizio: determinare la derivata terza della distribuzione individuata dalla funzione:
[tex]$f(t):=\begin{cases} 1-x^2 &\text{, se $x<0$} \\ x^3 &\text{, se $x\geq 0$}\end{cases}$[/tex]
Dopo aver ingoiato la puntualizzazione sul mio nick ho provato a fare l'esercizio:
ho fatto un paio di grafici e mi è venuto fuori che la derivata distribuzionale terza della funzione assegnata è f'''(x)=2*(delta)'+6* chi[0,più infinito]( "chi" è la funzione caratteristica tra zero e più infinito)
ho fatto un paio di grafici e mi è venuto fuori che la derivata distribuzionale terza della funzione assegnata è f'''(x)=2*(delta)'+6* chi[0,più infinito]( "chi" è la funzione caratteristica tra zero e più infinito)
Quasi giusto, ma ti manca la derivata di una [tex]$\delta$[/tex].
Facciamo il grafico della [tex]$f$[/tex]:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
plot("1-x^2",-5,0);
plot("x^3",0,5);
dot([0,0]);[/asvg]
Se con [tex]$\text{u} (x)$[/tex] denotiamo il gradino unitario (quello che tu chiameresti [tex]$\chi_{[0,+\infty [} (x)$[/tex]), possiamo scrivere la nostra funzione come segue:
[tex]$f(x)=x^3 \text{u}(x) +(1-x^2) (1-\text{u} (x))$[/tex]
(in cui evidentemente [tex]$1-\text{u}(x) =\chi_{]-\infty ,0[} (x)$[/tex]); tenendo presente che, distribuzionalmente parlando, [tex]$\text{u}^\prime (x) =\delta (x)$[/tex], che per le derivate distribuzionali valgono tutte le usuali regole di derivazione e che:
[tex]$[g(x)\text{u}(x)]^\prime =g^\prime (x) \text{u} (x) +g(0) \delta (x)$[/tex]
(questa formula, valida per [tex]$g\in C^1(\mathbb{R})$[/tex], si dimostra usando direttamente la definizione di derivata distribuzionale), abbiamo:
[tex]$f^\prime (x)=[ x^3 \text{u}(x)]^\prime +[(1-x^2) (1-\text{u} (x))]^\prime$[/tex]
[tex]$=[3x^2 \text{u} (x)+0\ \delta (x)] +[-2x (1-\text{u} (x)) +1\ (-\delta (x))]$[/tex]
[tex]$=3x^2 \text{u} (x)-\delta (x)-2x (1-\text{u} (x))$[/tex].
Questo conferma quanto avremmo ottenuto dal grafico: infatti in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] la [tex]$f^\prime$[/tex] coincide con la derivata di [tex]$x^3$[/tex], in [tex]$]-\infty ,0[$[/tex] essa coincide con la derivata di [tex]$1-x^2$[/tex] ed, in più, abbiamo una [tex]$\delta$[/tex] d'ampiezza [tex]$-1$[/tex] centrata in [tex]$0$[/tex] dovuta al salto di discontinuità di [tex]$f$[/tex] in [tex]$0$[/tex]. Graficamente:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red";
plot("-2*x",-5,0);
plot("3*x^2",0,5);
dot([0,0]);
marker="arrow"; line([0,0],[0,-1]);[/asvg]
Derivando di nuovo otteniamo:
[tex]$f^{\prime \prime} (x)=[3x^2 \text{u} (x)]^\prime -\delta^\prime (x)-[2x (1-\text{u} (x))]^\prime$[/tex]
[tex]$=6x\text{u} (x) -\delta^\prime (x) -2(1-\text{u}(x))$[/tex]
ed infine:
[tex]$f^{\prime \prime \prime} (x)=[6x\text{u} (x)]^\prime -\delta^{\prime \prime}(x) -2[1-\text{u}(x))]^\prime$[/tex]
[tex]$=6\text{u} (x)-\delta^{\prime \prime} (x)-2(-\delta(x))$[/tex]
[tex]$=6\text{u} (x) +2\delta (x)-\delta^{\prime \prime} (x)$[/tex].
[N.B.: Non disegno il risultato perchè non ho disponibile un simbolo adatto per le derivate della [tex]$\delta$[/tex] -di solito si usa una freccia con uno zig-zag per la [tex]$\delta^\prime$[/tex], una freccia con due zig-zag per la [tex]$\delta^{\prime \prime}$[/tex], e così via...]
Nel tuo risultato manca quel [tex]$\delta^{\prime \prime} (x)$[/tex]: probabilmente hai saltato la [tex]$\delta$[/tex] della derivata prima; inoltre c'è una [tex]$\delta^\prime$[/tex] dove io trovo una [tex]$\delta$[/tex]... Controlla un po' i conti (tuoi e miei, che l'errore può anche darsi sia mio).
Facciamo il grafico della [tex]$f$[/tex]:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
plot("1-x^2",-5,0);
plot("x^3",0,5);
dot([0,0]);[/asvg]
Se con [tex]$\text{u} (x)$[/tex] denotiamo il gradino unitario (quello che tu chiameresti [tex]$\chi_{[0,+\infty [} (x)$[/tex]), possiamo scrivere la nostra funzione come segue:
[tex]$f(x)=x^3 \text{u}(x) +(1-x^2) (1-\text{u} (x))$[/tex]
(in cui evidentemente [tex]$1-\text{u}(x) =\chi_{]-\infty ,0[} (x)$[/tex]); tenendo presente che, distribuzionalmente parlando, [tex]$\text{u}^\prime (x) =\delta (x)$[/tex], che per le derivate distribuzionali valgono tutte le usuali regole di derivazione e che:
[tex]$[g(x)\text{u}(x)]^\prime =g^\prime (x) \text{u} (x) +g(0) \delta (x)$[/tex]
(questa formula, valida per [tex]$g\in C^1(\mathbb{R})$[/tex], si dimostra usando direttamente la definizione di derivata distribuzionale), abbiamo:
[tex]$f^\prime (x)=[ x^3 \text{u}(x)]^\prime +[(1-x^2) (1-\text{u} (x))]^\prime$[/tex]
[tex]$=[3x^2 \text{u} (x)+0\ \delta (x)] +[-2x (1-\text{u} (x)) +1\ (-\delta (x))]$[/tex]
[tex]$=3x^2 \text{u} (x)-\delta (x)-2x (1-\text{u} (x))$[/tex].
Questo conferma quanto avremmo ottenuto dal grafico: infatti in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] la [tex]$f^\prime$[/tex] coincide con la derivata di [tex]$x^3$[/tex], in [tex]$]-\infty ,0[$[/tex] essa coincide con la derivata di [tex]$1-x^2$[/tex] ed, in più, abbiamo una [tex]$\delta$[/tex] d'ampiezza [tex]$-1$[/tex] centrata in [tex]$0$[/tex] dovuta al salto di discontinuità di [tex]$f$[/tex] in [tex]$0$[/tex]. Graficamente:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red";
plot("-2*x",-5,0);
plot("3*x^2",0,5);
dot([0,0]);
marker="arrow"; line([0,0],[0,-1]);[/asvg]
Derivando di nuovo otteniamo:
[tex]$f^{\prime \prime} (x)=[3x^2 \text{u} (x)]^\prime -\delta^\prime (x)-[2x (1-\text{u} (x))]^\prime$[/tex]
[tex]$=6x\text{u} (x) -\delta^\prime (x) -2(1-\text{u}(x))$[/tex]
ed infine:
[tex]$f^{\prime \prime \prime} (x)=[6x\text{u} (x)]^\prime -\delta^{\prime \prime}(x) -2[1-\text{u}(x))]^\prime$[/tex]
[tex]$=6\text{u} (x)-\delta^{\prime \prime} (x)-2(-\delta(x))$[/tex]
[tex]$=6\text{u} (x) +2\delta (x)-\delta^{\prime \prime} (x)$[/tex].
[N.B.: Non disegno il risultato perchè non ho disponibile un simbolo adatto per le derivate della [tex]$\delta$[/tex] -di solito si usa una freccia con uno zig-zag per la [tex]$\delta^\prime$[/tex], una freccia con due zig-zag per la [tex]$\delta^{\prime \prime}$[/tex], e così via...]
Nel tuo risultato manca quel [tex]$\delta^{\prime \prime} (x)$[/tex]: probabilmente hai saltato la [tex]$\delta$[/tex] della derivata prima; inoltre c'è una [tex]$\delta^\prime$[/tex] dove io trovo una [tex]$\delta$[/tex]... Controlla un po' i conti (tuoi e miei, che l'errore può anche darsi sia mio).
ho ricontrollato tutto e l'errore era mio perchè non avevo considerato la delta nella derivata prima...comunque ho capito il ragionamento da fare e per questo ti ringrazio.
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