Distribuzioni
La distribuzione nulla è generata dalla successione di distribuzione-funzione $T_k=sinkx$?
Risposte
esatto, per k tendente ad infinito quella successione va a zero nel senso delle distribuzioni
Come giustifichereste che,moltiplicando una distribuzione sngolare per una funzione diclasse $C^infty(RR)$,si ottiene una distribuzione?
non so cosa sia una distribuzione singolare, ma il prodotto di una distribuzione per una funzione regolare da sempre una distribuzione, per come è definito il prodotto
"Inmytime":
non so cosa sia una distribuzione singolare, ma il prodotto di una distribuzione per una funzione regolare da sempre una distribuzione, per come è definito il prodotto
Per distribuzione singolare intendo quelle distribuzioni che,come la delta di dirac,non sono generate da funzioni localmente sommabili.
Per distribuzione singolare intendo quelle distribuzioni che,come la delta di dirac,non sono generate da funzioni localmente sommabili.
tutte le distribuzioni sono limite di successioni localmente sommabili... anzi, si può dimostrare (risultato fondamentale di densità) che sono limite di successioni di funzioni regolari
"Inmytime":Per distribuzione singolare intendo quelle distribuzioni che,come la delta di dirac,non sono generate da funzioni localmente sommabili.
tutte le distribuzioni sono limite di successioni localmente sommabili... anzi, si può dimostrare (risultato fondamentale di densità) che sono limite di successioni di funzioni regolari
Si,lo so ma la delta cosi come altre distribuzioni,non è generata da alcuna funzione localmente sommabile perchè non esiste alcuna funzione $f(x)$ tale che $int_(-infty)^(+infty)f(x)*phi(x)dx=phi(0)$.
ah, una distribuzione singolare è una distribuzione non localmente sommabile... in ogni caso, posso moltiplicare qualunque distribuzione per una funzione regolare e ottenere ancora una distribuzione. questo discende direttamente dal risultato di densità al quale ho accennato
"Aeneas":
Come giustifichereste che,moltiplicando una distribuzione sngolare per una funzione diclasse $C^infty(RR)$,si ottiene una distribuzione?
In generale, moltiplicando una funzione $C^\infty$ per una distribuzione si ottiene ancora una distribuzione. Questo segue subito dalla definizione di prodotto di una funzione per una disrtribuzione e dal fatto che il prodotto di una funzione $C^\infty$ a suppporto compatto per una funzione $C^\infty$ è ancora $C^\infty$ a supporto compatto.
Ciao,
L.
Si definisce treno di impulsi $delta_T(t)$ la serie $sum_(k=-infty)^(+infty)delta(t-kT)$
Pertanto:
$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)$.
Quali considerazioni si possono fare sul carattere di questa serie ottenuta (mi pare sia una serie numerica)?
Pertanto:
$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)$.
Quali considerazioni si possono fare sul carattere di questa serie ottenuta (mi pare sia una serie numerica)?
$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)$
non mi pare vada bene, dovrebbe essere (<> indica la convoluzione, no?)
$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)delta(t-kT)$
l'operazione è ben definita se $phi(t)$ è a crescita lenta, e descrive un'operazione di campionamento ideale
"Inmytime":$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)$
non mi pare vada bene, dovrebbe essere (<> indica la convoluzione, no?)
$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)delta(t-kT)$
l'operazione è ben definita se $phi(t)$ è a crescita lenta, e descrive un'operazione di campionamento ideale
non è affatto la convoluzione ma il simbolo di crochet...ti assicuro che i passaggi sono giusti.Volevo solo sapere,ripeto,il comportamento di tale serie.
"Aeneas":
[quote="Inmytime"]$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)$
non mi pare vada bene, dovrebbe essere (<> indica la convoluzione, no?)
$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)delta(t-kT)$
l'operazione è ben definita se $phi(t)$ è a crescita lenta, e descrive un'operazione di campionamento ideale
non è affatto la convoluzione ma il simbolo di crochet...ti assicuro che i passaggi sono giusti.Volevo solo sapere,ripeto,il comportamento di tale serie.[/quote]
ah, allora $phi(t)$ deve essere a decrescita rapida... non so che dire, è una normale serie numerica convergente
"Inmytime":
[quote="Aeneas"][quote="Inmytime"]$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)$
non mi pare vada bene, dovrebbe essere (<> indica la convoluzione, no?)
$\langledelta_T,phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)\langledelta(t-kT),phi(t)\rangle=sum_(k=-infty)^(+infty)phi(kT)delta(t-kT)$
l'operazione è ben definita se $phi(t)$ è a crescita lenta, e descrive un'operazione di campionamento ideale
non è affatto la convoluzione ma il simbolo di crochet...ti assicuro che i passaggi sono giusti.Volevo solo sapere,ripeto,il comportamento di tale serie.[/quote]
ah, allora $phi(t)$ deve essere a decrescita rapida... non so che dire, è una normale serie numerica convergente[/quote]
Perchè è convergente?Lo è sempre nello spazio delle funzioni test?
"Aeneas":
Perchè è convergente?Lo è sempre nello spazio delle funzioni test?
per x sufficientemente grandi in modulo, $phi(x)$ a decrescita rapida è maggiorata ad esempio da $1/|x|^2$, quindi
$|phi(kT)|<1/|kT|^2$ per k grandi in modulo
$sum_(k=-infty)^(+infty)\1/|kT|^2$ è convergente, quindi....
"Inmytime":
[quote="Aeneas"]
Perchè è convergente?Lo è sempre nello spazio delle funzioni test?
per x sufficientemente grandi in modulo, $phi(x)$ a decrescita rapida è maggiorata ad esempio da $1/|x|^2$, quindi
$|phi(kT)|<1/|kT|^2$ per k grandi in modulo
$sum_(k=-infty)^(+infty)\1/|kT|^2$ è convergente, quindi....[/quote]
Dunque dal confronto con la serie armonica generalizzata segue che è convergente.ok ho capito.
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