Distribuzione temperata, quando?

[rocco.g1]

Avrei bisogno di capire quando una distribuzione è temperata... soprattutto in vista degli esercizi...

per quanto ne so, se la funzione è a supporto compatta ed ha crescita lenta, allora è temperata...

Però, ad esempio, se ho questo esercizio:

$f(x)=2x + 1 + 2/(1+x^2)$

posso dire che è temperata? se si, perchè? da cosa lo vedo...?
non riesco a collegare il fatto che debba essere a supporto compatto e che debba crescere lentamente nella pratica... cioè, dovrei fare un limite o cosa?

anche la distribuzione: $f(x)=x*p2(x-1)$

dove $p2(x-1)$ è la porta centrata in 1 di ampiezza 2...
come posso stabilire se è temperata o meno?

[Kroldar]

Ricordiamo il seguente risultato:
Individua una distribuzione temperata ogni funzione $x(t)$ a crescenza lenta, cioè tale che esistono $K>0$ e $p>0$ per cui risulti
$|x(t)| <= K(1+|t|^p)$

Evidentemente, se scegliamo $K=3$ e $p=1$, la funzione
$f(t) = 2t + 1 + 2/(1+t^2)$
rispetta il criterio esposto e dunque è una distribuzione temperata.

Per la seconda funzione, invece, basta notare che essa è una distribuzione regolare a supporto compatto e dunque è una distribuzione temperata.

[rocco.g1]

ottimo!!
ti ringrazio tantissimo per la spiegazione!

Però, ogni tanto mi capitano distribuzioni un pò più particolari, come ad esempio questa:

$T(x) = delta' *(x+2)*e^x + x^2*sin(2*x)$

questa mi sembra un pò più complessa di quelle normali... potrei applicare la formula che hai usato te, però in questo caso non saprei come fare...
data la presenza della derivata prima della delta di Dirac...

come si potrebbe fare?

[clrscr]

"rocco.g":ottimo!!
ti ringrazio tantissimo per la spiegazione!

Però, ogni tanto mi capitano distribuzioni un pò più particolari, come ad esempio questa:

$T(x) = delta' *(x+2)*e^x + x^2*sin(2*x)$

questa mi sembra un pò più complessa di quelle normali... potrei applicare la formula che hai usato te, però in questo caso non saprei come fare...
data la presenza della derivata prima della delta di Dirac...

come si potrebbe fare?

Potresti ragionare così:
vediamo se il primo addendo è una distribuzione temperata:

$ = < delta'(x+2), v(x)e^x > = - = - - = e^(-2) delta' (x+2) - e^(-2) delta(x+2)$ che rappresenta una distribuzione temperata, visto che il Delta e la sua derivata sono distribuzioni temperate.

Più precisamente $delta'(x)= - $ che definisce una distribuzione temperata per le proprietà di $v(x) in S(RR)$.

Per la funzione $x^2*sin(2*x)$ definisce una distribuzione temperata perchè e funzione a crescenza lenta, cioè può essere scomposta come un polinomio per una funzione sommabile. Ad esempio:
$x^2*(x^2+1)* sin(2*x)/(x^2+1)$

[goron1]

"Kroldar":Ricordiamo il seguente risultato:
Individua una distribuzione temperata ogni funzione $x(t)$ a crescenza lenta, cioè tale che esistono $K>0$ e $p>0$ per cui risulti
$|x(t)| <= K(1+|t|^p)$

Evidentemente, se scegliamo $K=3$ e $p=1$, la funzione
$f(t) = 2t + 1 + 2/(1+t^2)$
rispetta il criterio esposto e dunque è una distribuzione temperata.

Per la seconda funzione, invece, basta notare che essa è una distribuzione regolare a supporto compatto e dunque è una distribuzione temperata.

Perchè nel realizzare questo risultato hai ignorato il termine $ 2/(1+t^2)$? Forse perchè è a descrescenza rapida?