Distanze su R^n e intorni.

[andrea3141]

Buonasera a tutti,
mi chiamo Andrea e frequento il primo anno di Fisica. Studiando Analisi I mi sono imbattuto in alcuni argomenti che non riesco molto a comprendere. Arrivo subito al punto.
Nel contesto degli Spazi metrici, l'autore del mio libro definiva due distanze su $R^n$, diverse da quella euclidea:
1)$d_{infty}= max{|x_1 - y_1|, ... , |x_n - y_n|}$
2)$d_{1}= |x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|$
Ho compreso che queste distanze soddisfano le note proprietà della distanza, però non riesco a costruire degli esempi pratici su di esse, se poteste aiutarmi a trovarli ve ne sarei molto grato.
Inoltre considerando la distanza $d_{infty}$ su $R^2$, l'autore definiva gli intorni circolari di 0 nel seguente modo:
$B(0,r) = {(x,y) in R^2 : max(|x|,|y|) Perchè l'intorno è definito come $max(|x|,|y|) Grazie mille anticipatamente a tutti.

[Seneca1]

In generale la palla aperta di centro $x_0$ e raggio $r > 0$ in un certo spazio metrico $(X, d)$ è definita come
\[ B(x_0 , r) = \{ {x} \in X : d( x_0 , x) < r \} \]
cioè è l'insieme dei punti che distano da $x_0$ meno di $r$.

Specializzando lo spazio metrico $(X, d) = (RR^2 , d_\infty)$:
\[ B((0,0), r) = \{ (x_1 , x_2) \in \mathbb{R}^2 : d_\infty( (0,0) , (x_1 , x_2)) = \text{max} ( |x_1 - 0 | , |x_2 - 0|) < r \} \]

[andrea3141]

"Seneca":In generale la palla aperta di centro $x_0$ e raggio $r > 0$ in un certo spazio metrico $(X, d)$ è definita come
\[ B(x_0 , r) = \{ {x} \in X : d( x_0 , x) < r \} \]
cioè è l'insieme dei punti che distano da $x_0$ meno di $r$.

Specializzando lo spazio metrico $(X, d) = (RR^2 , d_\infty)$:
\[ B((0,0), r) = \{ (x_1 , x_2) \in \mathbb{R}^2 : d_\infty( (0,0) , (x_1 , x_2)) = \text{max} ( |x_1 - 0 | , |x_2 - 0|) < r \} \]

Grazie mille per la risposta.
Scusa l'ignoranza, ma come passo da:
${max} ( |x_1 - 0 | , |x_2 - 0|) < r$ a $-r

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[j18eos]

Non è ignoranza, è mancanza di capacità di leggere: scusa la durezza

"andrea314":...come passo da: $ {max} ( |x_1 - 0 | , |x_2 - 0|) < r $ a $ -rse così non fosse che accadrebbe?

[gugo82]

"andrea314":Ho compreso che queste distanze soddisfano le note proprietà della distanza, però non riesco a costruire degli esempi pratici su di esse, se poteste aiutarmi a trovarli ve ne sarei molto grato.

Non capisco cosa tu voglia dire con "esempi pratici"...

Per questo, l'unica cosa che mi viene in mente è riprendere l'esempio in distanza \(\infty\) su \(\mathbb{R}^2\) e farti anche l'analogo rispetto alla distanza \(1\).

Cerchiamo di capire com'è fatta la palla aperta \(B_\infty(\mathbf{0};r)\) di centro \(\mathbf{0}=(0,0)\) e raggio \(r>0\), la quale è per definizione:
\[
B_\infty (\mathbf{0};r) := \left\{ \mathbf{p}=(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ \operatorname{d}_\infty \left( \mathbf{p},\mathbf{0}\right) := \max \{ |x-0|,|y-0|\} = \max \{ |x|,|y|\} \]
Dato che:
\[
\left. \begin{split} &|x|\\
&|y|\end{split}\right\} \leq \max \{ |x|, |y|\}
\]
si ha:
\[
\mathbf{p} \in B_\infty (\mathbf{0};r)\qquad \Leftrightarrow \qquad \max \{ |x|, |y|\} < r\qquad \Leftrightarrow \qquad |x| \]
cioé un punto \(\mathbf{p}=(x,y)\) è nella palla aperta \(B_\infty (\mathbf{0};r)\) solo se le sue coordinate soddisfano le limitazioni \(|x| \[
\begin{split}
B_\infty (\mathbf{0};r) &= \left\{ \mathbf{p}=(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ |x| &= \left\{ \mathbf{p}=(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ -r &= ]-r,r[\times ]-r,r[\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, la palla aperta \(B_\infty (\mathbf{0};r)\) coincide col quadrato aperto \(]-r,r[\times ]-r,r[\), che ha centro in \(\mathbf{0}\) e lati lunghi \(2r\) paralleli agli assi coordinati.
In figura, ho disegnato \(B_\infty (\mathbf{0};2)\).
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
fill="lightyellow"; stroke="red"; rect([-2,-2],[2,2]);[/asvg]

Analogamente, cerchiamo di capire com'è fatta la palla aperta \(B_1(\mathbf{0};r)\) di centro \(\mathbf{0}\) e raggio \(r\), la quale è per definizione:
\[
B_1 (\mathbf{0};r) := \left\{ \mathbf{p}=(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ \operatorname{d}_1 \left( \mathbf{p},\mathbf{0}\right) := |x-0|+|y-0| = |x|+|y| \]
Dato che:
\[
|x|+|y| \]
si ha:
\[
\mathbf{p} \in B_1 (\mathbf{0};r)\qquad \Leftrightarrow \qquad |x| + |y| < r\qquad \Leftrightarrow \qquad -r< x \]
cioé un punto \(\mathbf{p}=(x,y)\) è nella palla aperta \(B_1 (\mathbf{0};r)\) solo se le sue coordinate soddisfano le limitazioni \(-r \[
B_1 (\mathbf{0};r) = \left\{ \mathbf{p}=(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ -r< x \]
e ciò significa che \(B_1(\mathbf{0};r)\) è formato da tutti i punti che hanno ascissa nell'intervallo \(]-r,r[\) ed ordinata compresa nella regione delimitata dai grafici delle due funzioni \(f(x):=|x|-r\) e \(g(x):= r-|x|\).
In figura, ho disegnato \(B_1 (\mathbf{0};2)\).
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
fill="lightyellow"; stroke="red"; path([[2,0],[0,2],[-2,0],[0,-2],[2,0]]);[/asvg]