DISTANZA+BINOMIALE
Ciao a tutti.
Ho un problema a cavallo fra l'analisi e la probabilità.
Siano X e Y variabili aleatorie binomiali X=B(n,p) e Y=B(n,p') dove |p-p'|<=eta.
Voglio dimostrare che la distanza in norma L_1 è minore di epsilon(>0), dove questo epsilon sarà in funzione di eta e di n. Come faccio??
Vi prego aiutatemi..è urgente!!
Grazie
Ho un problema a cavallo fra l'analisi e la probabilità.
Siano X e Y variabili aleatorie binomiali X=B(n,p) e Y=B(n,p') dove |p-p'|<=eta.
Voglio dimostrare che la distanza in norma L_1 è minore di epsilon(>0), dove questo epsilon sarà in funzione di eta e di n. Come faccio??
Vi prego aiutatemi..è urgente!!
Grazie
Risposte
Ma la distanza di cosa? Delle variabili aleatorie? Per prima cosa, scrivi cos'è $\| X-Y\|_1$ e ricordati come si esprime $B(n,p)$.
P.S.: ti consiglio di leggere il regolamento e di imparare ad usare le formule.
P.S.: ti consiglio di leggere il regolamento e di imparare ad usare le formule.
Sono nuova di questo forum. Mi sono appena iscritta. Comunque sì ho bisogno di trovare una maggiorazione di questa distanza fra le variabili aleatorie. Ho provato a farlo ma riesco a trovare solo che la distanza è < 2 ma ovviamente non va bene.. =(
Ripeto: sai come si scrive $\|X-Y\|_1$ e $B(n,p)$? Sta tutto lì e nel fare due calcoli.
Allora io ho fatto così (spero di usare le formule correttamente):
$|X-Y|_1=sum_{k=0}^n | {n \choose k}p^k(1-p)^(n-k)- {n \choose k}p'^k(1-p')^(n-k)| \leq $
$ \leq sum_{k=0}^n {| {n \choose k}p^k(1-p)^(n-k)|+| {n \choose k}p'^k(1-p')^(n-k)|} \leq $
$ \leq sum_{k=0}^n | {n \choose k}p^k(1-p)^(n-k)|+sum_{k=0}^n| {n \choose k}p'^k(1-p')^(n-k)|$
$\leq 2$
però non mi basta. dove posso fare una maggiorazione migliore?
non so scrivere il coefficiente binomiale qui. nel mio tex è {n \choose k} ma qui dà un esito strano
$|X-Y|_1=sum_{k=0}^n | {n \choose k}p^k(1-p)^(n-k)- {n \choose k}p'^k(1-p')^(n-k)| \leq $
$ \leq sum_{k=0}^n {| {n \choose k}p^k(1-p)^(n-k)|+| {n \choose k}p'^k(1-p')^(n-k)|} \leq $
$ \leq sum_{k=0}^n | {n \choose k}p^k(1-p)^(n-k)|+sum_{k=0}^n| {n \choose k}p'^k(1-p')^(n-k)|$
$\leq 2$
però non mi basta. dove posso fare una maggiorazione migliore?
non so scrivere il coefficiente binomiale qui. nel mio tex è {n \choose k} ma qui dà un esito strano
Se fai così, non sfrutti il fatto che $|p-p'|<\epsilon$. Il generico termine che scrivi è (indicando con $C^n_k$ il coefficiente binomiale)
[tex]$\left|C^n_k p^k(1-p)^k-C^n_k p'^k(1-p')^{n-k}\right|=C^n_k\left|p^k(1-p)^k-p'^k(1-p')^{n-k}\right|$[/tex]
Adesso ricorda la formula del Binomio di Newton: pertanto
[tex]$C_k^n\left|p^k\sum_{h=0}^{n-k} C_h^{n-k}\ (-1)^h p^h-p'^k\sum_{h=0}^{n-k} C_h^{n-k}\ (-1)^h p'^h\right|=
C_k^n\left|\sum_{h=0}^{n-k} C_h^{n-k}\ (-1)^h\left( p^{k+h}-p'^{k+h}\right)\right|\le$[/tex]
[tex]$\le C_k^n\sum_{h=0}^k C_h^{n-k} \left|p^{k+h}-p'^{k+h}\right|$[/tex]
Ora, come potresti maggiorare quell'ultimo valore assoluto, tenendo conto del fatto che $|p-p'|<\epsilon$?
[tex]$\left|C^n_k p^k(1-p)^k-C^n_k p'^k(1-p')^{n-k}\right|=C^n_k\left|p^k(1-p)^k-p'^k(1-p')^{n-k}\right|$[/tex]
Adesso ricorda la formula del Binomio di Newton: pertanto
[tex]$C_k^n\left|p^k\sum_{h=0}^{n-k} C_h^{n-k}\ (-1)^h p^h-p'^k\sum_{h=0}^{n-k} C_h^{n-k}\ (-1)^h p'^h\right|=
C_k^n\left|\sum_{h=0}^{n-k} C_h^{n-k}\ (-1)^h\left( p^{k+h}-p'^{k+h}\right)\right|\le$[/tex]
[tex]$\le C_k^n\sum_{h=0}^k C_h^{n-k} \left|p^{k+h}-p'^{k+h}\right|$[/tex]
Ora, come potresti maggiorare quell'ultimo valore assoluto, tenendo conto del fatto che $|p-p'|<\epsilon$?
scusa non riesco a seguirti: perché il tuo esponente di $(1-p)$ e $(1-p')$ è diventato $k$ e non $n-k$? è scorretta la mia formula di prima?
Secondo me il generico termine è:
$|C^n_kp^k(1-9)^{n-k}-C^n_kp'^k(1-p')^{n-k}|$
Secondo me il generico termine è:
$|C^n_kp^k(1-9)^{n-k}-C^n_kp'^k(1-p')^{n-k}|$
Sì, scusa, mi ero dimenticato la $n$. Ora correggo.
EDIT: corretto. Come vedi comunque siamo sempre lì.
EDIT: corretto. Come vedi comunque siamo sempre lì.
Aspetta.. propongo io:
$|C^n_k p^k(1-p)^{n-k}-C^n_k p'^k(1-p')^{n-k}|=$
$=C^n_k |p^k(1-p)^{n-k}-p'^k(1-p')^{n-k}|=$
$=C^n_k|p^k sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h (-1)^h p^{n-k-h} - p'^k sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h (-1)^h p'^{n-k-h}|=$
$=C^n_k|sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h (-1)^h (p^{n-h} - p'^{n-h})| \leq$
$\leq C^n_k sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h |p^{n-h} - p'^{n-h}|$
fino a qui fila mi sembra, giusto? Non riesco a capire il passaggio del tuo. mi sembra corretto che alla seconda riga di questo messaggio l'esponente di $(1-p)$ sia $n-k-h$ per la definizione di binomio di newton. no?? (idem per $(1-p')$)
$=C^n_k |p^k(1-p)^{n-k}-p'^k(1-p')^{n-k}|=$
$=C^n_k|p^k sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h (-1)^h p^{n-k-h} - p'^k sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h (-1)^h p'^{n-k-h}|=$
$=C^n_k|sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h (-1)^h (p^{n-h} - p'^{n-h})| \leq$
$\leq C^n_k sum_{h=0}^{n-k} C^{n-k}_h |p^{n-h} - p'^{n-h}|$
fino a qui fila mi sembra, giusto? Non riesco a capire il passaggio del tuo. mi sembra corretto che alla seconda riga di questo messaggio l'esponente di $(1-p)$ sia $n-k-h$ per la definizione di binomio di newton. no?? (idem per $(1-p')$)
Il binomi di Newton dice che
[tex]$(a+b)^n=\sum_{h=0}^n C_h^n a^h b^{n-h}=\sum_{h=0}^n C_h^n a^{n-h} b^h$[/tex]
Come vedi è indifferente come scegli le potenze, la formula è simmetrica. Attenta perché a $-1$ va lo stesso esponente delle $p$. Detto questo, comunque, la mia domanda rimane.
[tex]$(a+b)^n=\sum_{h=0}^n C_h^n a^h b^{n-h}=\sum_{h=0}^n C_h^n a^{n-h} b^h$[/tex]
Come vedi è indifferente come scegli le potenze, la formula è simmetrica. Attenta perché a $-1$ va lo stesso esponente delle $p$. Detto questo, comunque, la mia domanda rimane.
alla tua domanda non so rispondere... ciò idealmente vorrei che fosse:
$|p^a-p'^a| \leq |p-p'|^a$
ma non credo questo valga. ho il cervello che fuma. e non capisco nemmeno perché $-1$ deve avere lo stesso esponente delle $p$. non capisco cosa ci sia sbagliato nei miei calcoli
$|p^a-p'^a| \leq |p-p'|^a$
ma non credo questo valga. ho il cervello che fuma. e non capisco nemmeno perché $-1$ deve avere lo stesso esponente delle $p$. non capisco cosa ci sia sbagliato nei miei calcoli
Prendi la formula di Newton che ti ho scritto e sostituisci $a=1,\ b=-p$. Per la disequazione, osserva che per ogni $n\in\mathbb{N}$ si ha
[tex]$p^n-p'^n=(p-p')\cdot\sum_{i=0}^{n-1} p^i p'^{n-1-i}$[/tex]
[tex]$p^n-p'^n=(p-p')\cdot\sum_{i=0}^{n-1} p^i p'^{n-1-i}$[/tex]
quindi ho che
$|p^{n-h}-p'^{n-h}| \leq$
$|p-p'| |sum_{i=0}^{n-h-1} p^i p'^{n-h-i-1} \leq$
$\leq \eta |sum_{i=0}^{n-h-1} p^i p'^{n-h-i-1} |$
e ora devo mettere insieme tutto...giusto?
$|p^{n-h}-p'^{n-h}| \leq$
$|p-p'| |sum_{i=0}^{n-h-1} p^i p'^{n-h-i-1} \leq$
$\leq \eta |sum_{i=0}^{n-h-1} p^i p'^{n-h-i-1} |$
e ora devo mettere insieme tutto...giusto?
Sì. Solo che sto pensando che forse questa non è la via migliore.
noooo...quindi? avrai capito che sono totalmente nelle tue mani...
Mmmmm stavo pensando ad una cosa: ma per norma $L^1$ tu cosa intendi? Perché ho un piccolo dubbio su una cosa. Inoltre, non vorrei sbagliare, ma questa roba $\sum_{k=0}^n C^n_k p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1$???
come norma intendo $d(f,g)=SUM_x |f(x)-g(x)|$
Sì la somma che hai scritto è coretta. sta infatti alla base della dimostrazione che la distribuzione di probabilità di una binomiale è corretta. Perché me lo scrivi però?? è per questo che io, fin dall'inizio avevo trovato la maggiorazione 2.
Sì la somma che hai scritto è coretta. sta infatti alla base della dimostrazione che la distribuzione di probabilità di una binomiale è corretta. Perché me lo scrivi però?? è per questo che io, fin dall'inizio avevo trovato la maggiorazione 2.
io ho un impegno per cui devo scappare.. per favore se ti viene in mente qualcosa lasciami un messaggio. è l'ultima dimostrazione che mi serve per concludere la tesi. Mi sentirei una stupida a dover eliminare il teorema. Ma non riesco sul serio a venirne a capo. Mi collego come prima cosa domani mattina
Nel caso contrario, ti ringrazio per avermi dato una mano a ragionarci su un po'. sei stato prezioso!
Ciao
Nel caso contrario, ti ringrazio per avermi dato una mano a ragionarci su un po'. sei stato prezioso!
Ciao
"MONI89":
come norma intendo $d(f,g)=SUM_x |f(x)-g(x)|$
Sì la somma che hai scritto è coretta. sta infatti alla base della dimostrazione che la distribuzione di probabilità di una binomiale è corretta. Perché me lo scrivi però?? è per questo che io, fin dall'inizio avevo trovato la maggiorazione 2.
Mmmmm... ma quella non è la norma $L^\infty$?
no, la norma infinito non ha la somma ma il massimo!!! La definizione delle norme $L^p$ è:
$d_p(f,g)=(sum_x |f(x)-g(x)|^p)^(1/p)$
quindi nel mio caso devo mettere $p=1$
$d_p(f,g)=(sum_x |f(x)-g(x)|^p)^(1/p)$
quindi nel mio caso devo mettere $p=1$
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