Distanza tra piani

[icaf]

Trovare la distanza tra i piani:
P1 :{x∈ R3: 2x1+3x2-x3=5}
P2 :{x∈ R3: x1-3/2x2+1/2x3=8}
La formula da utilizzare è d(z,p) = (vz - "alfa")/modulo V
Nonostante la formula non riesco a capire come calcolare la distanza: mi potete aiutare mostrandomi come ricavare v e z???
Grazie! :)

[ciampax]

Per prima cosa, al fine di determinare la distanza tra i piani, devi verificare che essi siano paralleli. Lo sono quando il vettore normale coincide. I vettori normali dei due piani sono

[math]v_1=(2,3,-1),\ v_2=(1,-3/2,1/2)[/math]

e dal momento che i due vettori non sono paralleli (non esiste una costante k tale che

[math]v_1=kv_2[/math]

) non ha senso calcolarne la distanza. Sei sicura che il secondo piano abbia l'equazione scritta?

[icaf]

ricontrollerò comunque qualora i vettori fossero paralleli prendo i valori del vettore V1 e quelli del vettori V2 e li inserisco nella formula per calcolare la distanza??

[ciampax]

Consideriamo i due piani paralleli

[math]ax+by+cz+d=0,\ ka x+kb y+kc z+d'=0[/math]

con i vettori normali

[math]\mathbf{v}_1=(a,b,c),\ \mathbf{v}_2=k v_1[/math]

. Per calcolare la distanza tra essi, l'idea è quella di prendere un generico punto sul primo piano, scrivere l'equazione della retta passante per tale punto e ortogonale al piano stesso e determinare il punto di intersezione che tale retta ha con il secondo piano. Fatto questo, la distanza si ricava come distanza tra i due punti dati. Vediamo di scrivere una regola generale.


Per prima cosa, utilizziamo un po' di notazioni vettoriali: se

[math]\mathbf{X}=(x,y,z)[/math]

è il vettore coordinate generiche, possiamo indicare con

[math]\mathbf{v}_1\bullet\mathbf{X}+d=0,\ \mathbf{v}_2\bullet\mathbf{X}+d'=0[/math]

le equazioni dei due piani, essendo

[math]\bullet[/math]

il prodotto scalare. Indichiamo ora con

[math]\mathbf{X}_0=(x_0,y_0,z_0)[/math]

un generico punto del primo piano, per cui

[math]\mathbf{v}_1\bullet\mathbf{X}_0+d=0[/math]

. L'equazione parametrica della retta passante per

[math]\mathbf{X_0}[/math]

e diretta come il versore normale al primo piano è data da

[math]\mathbf{X}=\mathbf{X}_0+t\mathbf{v}_1[/math]

Sostituendo questa espressione nell'equazione del secondo piano si ha

[math]\mathbf{v}_2\bullet(\mathbf{X}_0+t\mathbf{v_1})+d'=0[/math]

da cui, ricordando che

[math]\mathbf{v}_2=k\mathbf{v}_1[/math]

, si può ricavare il valore di

[math]t[/math]

che determina l'intersezione piano/retta

[math]t=-\frac{d'+k\mathbf{v}_1\bullet\mathbf{X}_0}{|\mathbf{v}_1|^2}=-\frac{d'-d}{|\mathbf{v}_1|^2}=\frac{d-d'}{|\mathbf{v}_1|^2}[/math]

Ne segue che le coordinate del punto di intersezione della retta con il secondo piano sono date da

[math]\mathbf{X}_1=\mathbf{X}_0+\frac{d-d'}{|\mathbf{v}_1|^2}\cdot \mathbf{v}_1[/math]

La distanza tra i due piani è data allora dalla seguente relazione

[math]D=\sqrt{|\mathbf{X}_1-\mathbf{X}_0|^2}=\sqrt{\left|\frac{d-d'}{|\mathbf{v}_1|^2}\cdot \mathbf{v}_1\right|^2}=\sqrt{\frac{(d-d')^2}{|\mathbf{v}_1|^4}\cdot |\mathbf{v}_1|^2}=\frac{|d-d'|}{|\mathbf{v}_1|^2}[/math]

Che è la formula cercata.

P.S.: la formula che hai indicato tu (anche se scritta un po' male) è quella della distanza di un punto da un piano (o almeno così mi pare di capire. Puoi usare quella due volte per determinare la formula che ho scritto qui, ma è più conveniente fare direttamente riferimento a questa.