Distanza e limite
Ciao, amici!
Sto studiando alcuni teoremi sui limiti in $RR^n$, nella fattispecie i teoremi di Bolzano-Weierstrass ("ogni successione limitata di $RR^n$ ammette una sottosuccessione convergente"), di Heine-Borel ("un sottoinsieme $K$ di $RR^n$ è chiuso e limitato se e soltanto se ogni sua successione ammette una sottosuccessione convergente ad un limite in $K$") e di Heine-Cantor ("sia \(\textbf{f}:K \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) una funzione continua; se $K$ è chiuso e limitato allora \(\textbf{f}\) è uniformemente continua su $K$"). Mi pare di capire dalle dimostrazioni fornite dal mio testo che le distanze implicate nelle definizioni di limite (per esempio in una successione in cui \(\forall \epsilon>0 \exists N:(n>N \implies d(x_n,\lim_n x_n)<\epsilon)\)) e continuità utilizzate in questi teoremi siano distanze euclidee, mentre per altre distanze questi teoremi non sarebbero necessariamente sempre validi: giusto?
$+oo$ grazie a tutti per il chiarimento!
Sto studiando alcuni teoremi sui limiti in $RR^n$, nella fattispecie i teoremi di Bolzano-Weierstrass ("ogni successione limitata di $RR^n$ ammette una sottosuccessione convergente"), di Heine-Borel ("un sottoinsieme $K$ di $RR^n$ è chiuso e limitato se e soltanto se ogni sua successione ammette una sottosuccessione convergente ad un limite in $K$") e di Heine-Cantor ("sia \(\textbf{f}:K \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) una funzione continua; se $K$ è chiuso e limitato allora \(\textbf{f}\) è uniformemente continua su $K$"). Mi pare di capire dalle dimostrazioni fornite dal mio testo che le distanze implicate nelle definizioni di limite (per esempio in una successione in cui \(\forall \epsilon>0 \exists N:(n>N \implies d(x_n,\lim_n x_n)<\epsilon)\)) e continuità utilizzate in questi teoremi siano distanze euclidee, mentre per altre distanze questi teoremi non sarebbero necessariamente sempre validi: giusto?
$+oo$ grazie a tutti per il chiarimento!
Risposte
In realtà andrebbero bene tutte le distanze provenienti da una norma di \(\mathbb{R}^n\). Si dimostra infatti che ogni coppia di norme \(\lVert \cdot \lVert_1, \lVert \cdot \rVert_2\) su uno spazio vettoriale di dimensione finita sono equivalenti nel senso che esistono costanti \(A, B\) tali che
\[A\lVert x \rVert_1 \le \lVert x \rVert_2 \le B \lVert x \rVert_1, \qquad \forall x.\]
Questo tipo di equivalenza conserva tutte le proprietà topologiche (limiti, continuità, compattezza) e anche le proprietà metriche (uniforme continuità, limitatezza). Quindi i teoremi che citi restano validi.
________________
[size=85]La generalizzazione può essere anche estesa ulteriormente. Il teorema di Bolzano-Weiestrass vale in qualsiasi spazio metrico localmente compatto, ovvero avente la proprietà che ogni punto ha un intorno aperto con la chiusura compatta. Il teorema di Heine-Cantor vale in qualsiasi spazio metrico compatto. E infine, \(\mathbb{R}^n\) non è l'unico spazio metrico con la proprietà di Heine-Borel: mi ricordo che tempo fa Gugo ha esibito un esempio di metrica sullo spazio \(C^\infty((0, 1))\) delle funzioni derivabili a volontà tale che ogni sottoinsieme chiuso e limitato è compatto. Ma queste sono chiacchiere, lasciale stare se ti confondono le idee.[/size]
\[A\lVert x \rVert_1 \le \lVert x \rVert_2 \le B \lVert x \rVert_1, \qquad \forall x.\]
Questo tipo di equivalenza conserva tutte le proprietà topologiche (limiti, continuità, compattezza) e anche le proprietà metriche (uniforme continuità, limitatezza). Quindi i teoremi che citi restano validi.
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[size=85]La generalizzazione può essere anche estesa ulteriormente. Il teorema di Bolzano-Weiestrass vale in qualsiasi spazio metrico localmente compatto, ovvero avente la proprietà che ogni punto ha un intorno aperto con la chiusura compatta. Il teorema di Heine-Cantor vale in qualsiasi spazio metrico compatto. E infine, \(\mathbb{R}^n\) non è l'unico spazio metrico con la proprietà di Heine-Borel: mi ricordo che tempo fa Gugo ha esibito un esempio di metrica sullo spazio \(C^\infty((0, 1))\) delle funzioni derivabili a volontà tale che ogni sottoinsieme chiuso e limitato è compatto. Ma queste sono chiacchiere, lasciale stare se ti confondono le idee.[/size]
Grazie di cuore per la risposta e scusa se chiedo ancora: che differenza c'è tra distanza proveniente da una norma di $RR^n$ e distanza euclidea? La prima è un multiplo della seconda?
Ancora $+oo$ grazie!!!
Ancora $+oo$ grazie!!!
Data l'estrema vicinanza tematica dell'argomento posto sotto questo thread per non aprirne di nuovi. Mi sto confondendo un po' con l'approccio all'argomento della distanza che trovo nel mio testo di analisi... Ho l'impressione che si sottintenda se non specificato diversamente che si tratta della $d$ euclidea...
Si propone per esempio di dimostrare che in uno spazio metrico $(X,d)$ la funzione distanza $d:X×X -> RR$ è continua in entrambe le variabili e, nella soluzione in appendice, si procede così: "Vogliamo che $AA \epsilon>0,EE\delta$ tale che se $d(x_1,x_2)<\delta$ allora $ |d(x_1,y)-d(x_2,y)|<\epsilon $, indipendentemente da $y \in X$" e qui il testo utilizza la disuguaglianza triangolare propria per definizione di ogni distanza scegliendo $\epsilon=\delta$:
"$|d(x_1,y)-d(x_2,y)| <= |d(x_1,x_2)+d(x_2,y)-d(x_2,y)|=d(x_1,x_2)<\delta$".
Ora, mi chiedo: non si dovrebbe piuttosto dimostrare che $AA\epsilon>0,\EE\delta>0:(d(x_1,x_2)<0 => d(d(x_1,y),d(x_2,y))<\epsilon)$ per qualunque distanza $d$ definibile in $RR$ e non solo $d(u,v)=|u-v|$? Forse se $AA\epsilon>0,\EE\delta>0:(d(x_1,x_2)<0 => |d(x_1,y)-d(x_2,y)|<\epsilon)$ allora si può anche scegliere un $\delta$ tale che $d(d(x_1,y),d(x_2,y))<\epsilon_2$ per qualsiasi definizione di $d$?
Si propone per esempio di dimostrare che in uno spazio metrico $(X,d)$ la funzione distanza $d:X×X -> RR$ è continua in entrambe le variabili e, nella soluzione in appendice, si procede così: "Vogliamo che $AA \epsilon>0,EE\delta$ tale che se $d(x_1,x_2)<\delta$ allora $ |d(x_1,y)-d(x_2,y)|<\epsilon $, indipendentemente da $y \in X$" e qui il testo utilizza la disuguaglianza triangolare propria per definizione di ogni distanza scegliendo $\epsilon=\delta$:
"$|d(x_1,y)-d(x_2,y)| <= |d(x_1,x_2)+d(x_2,y)-d(x_2,y)|=d(x_1,x_2)<\delta$".
Ora, mi chiedo: non si dovrebbe piuttosto dimostrare che $AA\epsilon>0,\EE\delta>0:(d(x_1,x_2)<0 => d(d(x_1,y),d(x_2,y))<\epsilon)$ per qualunque distanza $d$ definibile in $RR$ e non solo $d(u,v)=|u-v|$? Forse se $AA\epsilon>0,\EE\delta>0:(d(x_1,x_2)<0 => |d(x_1,y)-d(x_2,y)|<\epsilon)$ allora si può anche scegliere un $\delta$ tale che $d(d(x_1,y),d(x_2,y))<\epsilon_2$ per qualsiasi definizione di $d$?
"DavideGenova":
Grazie di cuore per la risposta e scusa se chiedo ancora: che differenza c'è tra distanza proveniente da una norma di $RR^n$ e distanza euclidea? La prima è un multiplo della seconda?
La distanza euclidea proviene dalla norma euclidea:
\[d_2(x, y)=\sqrt{\lvert x_1-y_1\rvert^2+\ldots+\lvert x_n-y_n\rvert^2}=\lVert x-y\rVert_2,\]
(il pedice 2 è riferito al fatto che gli \(n\) addendi sono elevati al quadrato). Altre distanze usuali sono le seguenti:
\[d_p(x, y)=\left( \lvert x_1-y_1\rvert^p+\ldots+\lvert x_n-y_n\rvert^p\right)^{1/p}=\lVert x-y\rVert_p,\]
per \(p \in [1, \infty)\), e
\[d_{\infty}(x, y)=\max\left( \lvert x_1-y_1\rvert \ldots\lvert x_n-y_n\rvert\right)=\lVert x-y\rVert_{\infty}.\]
Tutte queste distanze provengono da una norma e sono assai simili alla distanza euclidea sotto molti aspetti. Ma ci sono distanze che non provengono da alcuna norma:
\[d(x, y)=\begin{cases} 1 & x \ne y \\ 0 & x = y \end{cases}\]
la cosiddetta distanza discreta, ne è un esempio. Questa distanza è proprio strana. Per esempio, rispetto ad essa l'intero spazio \(\mathbb{R}^n\) è limitato! Infatti esso è contenuto nella sfera di centro l'origine e raggio \(1+\varepsilon\). Con una distanza come questa non hai speranze di recuperare i teoremi classici che stai studiando, puoi facilmente costruire tutti i controesempi che vuoi.
"DavideGenova":Beh non esagerare con la generalità!
Mi sto confondendo un po' con l'approccio all'argomento della distanza che trovo nel mio testo di analisi... Ho l'impressione che si sottintenda se non specificato diversamente che si tratta della $d$ euclidea...
Si propone per esempio di dimostrare che in uno spazio metrico $(X,d)$ la funzione distanza $d:X×X -> RR$ è continua in entrambe le variabili e, nella soluzione in appendice, si procede così: [...]
Ora, mi chiedo: non si dovrebbe piuttosto dimostrare che $AA\epsilon>0,\EE\delta>0:(d(x_1,x_2)<0 => d(d(x_1,y),d(x_2,y))<\epsilon)$ per qualunque distanza $d$ definibile in $RR$[...]
In \(\mathbb{R}\) si assume sempre che la metrica sia quella solita. E' uno spazio metrico fondamentale su cui si modellano tutti gli altri. E poi in \(\mathbb{R}\) c'è anche una proprietà in più: a meno di costanti moltiplicative la norma è una sola.
$+oo$ grazie!!! Adesso comincio a vederci più chiaro.
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