Distanza e compattezza

[LARA881]

ho la distanza d=||x-y|| e considero d'=d/(1+d).
perché non è vero che ogni insieme chiuso e limitato rispetto a tale distanza non è compatto???

[_prime_number]

Considera che $d' \leq 1$ per come è definita, quindi tutti gli insiemi risultano essere limitati secondo $d'$.

Paola

[LARA881]

sì ok, ma da questo come concludo che non è compatto?

[_prime_number]

Compatto = chiuso e limitato non vale in tutti gli spazi topologici. Un insieme $A$ è compatto (definizione) se ogni successione contenuta in $A$ contiene una sottosuccessione convergente in $A$.
Al momento ti trovi in uno spazio metrico qualunque o in uno specifico?

Paola

[LARA881]

sto in Rn

[_prime_number]

Ancora più facile: prendi come controesempio lo stesso $\mathbb{R}^n$. E' limitato secondo $d'$ per quanto detto nel mio primo post, ma basta considerare la successione ${x^j \in\mathbb{R}^n : x^j_1 = j, x^j_i=0 \forall i\ne 1}$ per dimostrare che non è compatto: infatti $d'(x^{j+1}-x^j)=1/2$ (ripensa bene alla definizione di compatto!).

Paola

[LARA881]

non dovrei far vedere che la distanza tra la successione e il suo limite (se esistesse) deve essere minore di epsilon? va bene anche la distanza tra due elementi della successione?

[Paolo902]

Un'osservazione-domanda di chiarimento:

"prime_number":Un insieme $A$ è compatto (definizione) se ogni successione contenuta in $A$ contiene una sottosuccessione convergente in $A$.

Paola, scusami, ma quella che hai scritto tu non è la definizione di spazio sequenzialmente compatto (o compatto per successioni)? Io come definizione di compattezza prendo quella dei ricoprimenti aperti: uno spazio topologico $X$ è compatto (per definizione) se da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito.

Naturalmente, se $X$ è metrico, le due definizioni sono equivalenti. Che dici?
Grazie per i chiarimenti e scusate l'intrusione.

[_prime_number]

@Paolo90: sì hai ragione, ero convinta valesse sempre, ricordavo male. Comunque negli spazi metrici vanno bene entrambe le definizioni, ma la tua osservazione è importante.

@LARA88: ogni successione convergente è di Cauchy, dunque se la successione non di Cauchy non è nemmeno convergente. Presi $x^j, x^s$ (supponiamo $j>s$), si ha $d'(x^j,x^s)= (j-s)/(1+j-s)> (j-s)/(j-s +j-s)=1/2$.

Paola