Distanza di un compatto

[7ania92]

Salve a tutti,
qualcuno potrebbe spiegarmi perchè: se ho $V$ un aperto e $K$ un compatto contenuto in $V$, allora la distanza di $K$ dal bordo di $V$ è sicuramente finita?Da cosa dipende? Perchè io non riesco a capirlo bene nel caso in cui $V$ sia illimitato...
Grazie!

[Rigel1]

Immagino tu stia considerando qualcosa del tipo
\[
\delta := \inf\{d(x,y):\ x\in K,\ y\in\partial V\}\,.
\]
In tal caso, purché \(K,\partial V\neq \emptyset\), hai che \(\delta\) è finito dal momento che \(\delta\leq d(x,y)\) per ogni \((x,y)\in K\times\partial V\).

[7ania92]

"Rigel":
hai che \(\delta\) è finito dal momento che \(\delta\leq d(x,y)\) per ogni \((x,y)\in K\times\partial V\).

Si esatto! Il fatto è : esistono $x in K$ e $y in deltaV$ $t.c$ $ d(x,y)$ è finita? Io ho pensato che essendo la funzione distanza continua e $K$ compatto allora esiste sicuramente il minimo, ma non so se va bene...

[Rigel1]

Se sei in uno spazio metrico, \(d(x,y)\) è finita per ogni coppia di punti dello spazio (per definizione).

[7ania92]

"Rigel":Se sei in uno spazio metrico, \(d(x,y)\) è finita per ogni coppia di punti dello spazio (per definizione).

quindi la compattezza di $K$ non c'entra?

[Rigel1]

Per la finitezza no. Altro discorso se invece vuoi trovare una coppia di punti che realizzino la distanza.

[7ania92]

"Rigel":Per la finitezza no. Altro discorso se invece vuoi trovare una coppia di punti che realizzino la distanza.

Grazie mille! Scusi se ne approfitto, ma per caso sa dove posso trovare una dimostrazione del lemma di Urysohn? Però la versione in cui c'è $K$ compatto contenuto in $V$ aperto e $t.c.$ esiste una funzione continua e a supporto compatto $h$ che vale $1$ su $K$ e $t.c.$ $Supp(h)$ $c$ $V$. Sul web non ne ho trovate!
Io ho provato a dimostrarlo,ma non riesco a dimostrare che il supporto di $h$ è compatto e contentuo in $V$ Grazie ancora!

[gugo82]

Se \(V\) è aperto e se \(K\subseteq V\) è compatto e non vuoto, hai per definizione:
\[
\tag{1}
\operatorname{dist} (K,\partial V) := \inf_{x\in K} \operatorname{dist} (x,\partial V)
\]
con:
\[
\tag{2}
\operatorname{dist} (x,\partial V) := \inf_{y\in \partial V} d(x,y)
\]
sempre per definizione.
La disuguaglianza triangolare di \(d(\cdot , \cdot)\) ti consente di dimostrare che:
\[
\left|\operatorname{dist} (x_1,\partial V) - \operatorname{dist} (x_2,\partial V)\right| \leq d(x_1,x_2)
\]
quindi \(\operatorname{dist} (\cdot,\partial V)\) è continua in \(K\) compatto; per Weierstrass, \(\operatorname{dist} (\cdot,\partial V)\) è dotata di minimo assoluto in \(K\), cioé esiste \(x_0\in K\) tale che:
\[
\operatorname{dist} (x_0,\partial V) \leq \operatorname{dist} (x,\partial V)
\]
per ogni \(x\in K\); dunque l'estremo inferiore in (1) è in realtà un minimo e si ha:
\[
\operatorname{dist} (K,\partial V) = \operatorname{dist} (x_0,\partial V)\; .
\]
Ora, ti mostro che \(\operatorname{dist} (x_0,\partial V)>0\), così concludo.
Chiaramente, per le proprietà della metrica, si ha \(\operatorname{dist} (x_0,\partial V)\geq 0\), quindi basta escludere che \(\operatorname{dist} (x_0,\partial V)=0\).
Per assurdo, suppongo che \(\operatorname{dist} (x_0,\partial V)=0\). Dalla (2) traggo:
\[
\operatorname{dist} (x_0,\partial V) = \inf_{y\in \partial V} d(x_0,y)
\]
e dalle proprietà dell'estremo inferiore inferisco che esiste una successione \((y_n)\subseteq \partial V\) tale che:
\[
d(x_0,y_n)\to \operatorname{dist} (x_0,\partial V) =0\; ;
\]
quindi ho certamente \(y_n\to x_0\) e, perciò, \(x_0\) è un p.d.a. per \(\partial V\); dato che \(\partial V\) è un chiuso, si ha \(x_0\in \partial V\). Ma ciò è assudo perché, essendo \(K\) un compatto contenuto in \(V\), \(x_0\) è un punto interno a \(V\) e dunque \(x_0\notin \partial V\).
Conseguentemente:
\[
\operatorname{dist} (x_0,\partial V)>0\; .
\]

Per terminare in bellezza, ponendo \(\delta := \operatorname{dist} (x,\partial V)\), hai:
\[
\operatorname{dist} (K,\partial V)=\delta >0\; ,
\]
come volevi.

[7ania92]

Grazie