Distanza di classe $C^{\infty}$?
Ciao, amici!
In una dimostrazione ho l'impressione che si sottintenda che la funzione \(f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}\) definita da \(f(\mathbf{x})=d(\mathbf{x},S)=\inf\{d(\mathbf{x},\mathbf{y}):\mathbf{y}\in S\}\) con $S$ un certo sottoinsieme di \(\mathbb{R}^N\) sia di classe $C^{\infty}$, ma non so come e se si possa dimostrare che la distanza tra \(\mathbf{x}\) e un sottoinsieme, e non un solo punto, sia né derivabile né tantomeno di classe $C^{\infty}$...
Qualcuno ne sa di più?
\(+\infty\) grazie a tutti!!!
P.S.: Avevo inserito questa domanda insieme ad un altro recente post, ma forse è più consono scorporarla...
In una dimostrazione ho l'impressione che si sottintenda che la funzione \(f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}\) definita da \(f(\mathbf{x})=d(\mathbf{x},S)=\inf\{d(\mathbf{x},\mathbf{y}):\mathbf{y}\in S\}\) con $S$ un certo sottoinsieme di \(\mathbb{R}^N\) sia di classe $C^{\infty}$, ma non so come e se si possa dimostrare che la distanza tra \(\mathbf{x}\) e un sottoinsieme, e non un solo punto, sia né derivabile né tantomeno di classe $C^{\infty}$...
Qualcuno ne sa di più?
\(+\infty\) grazie a tutti!!!
P.S.: Avevo inserito questa domanda insieme ad un altro recente post, ma forse è più consono scorporarla...
Risposte
In generale è solo una funzione Lipschitziana (dunque derivabile quasi ovunque per il teorema di Rademacher), a meno che non si facciano ipotesi su \(S\).
\(+\infty\) grazie, Rigel! So che $S$ è chiuso e, forse, limitato.
Dico forse perché si tratta dell'insieme da cui si prende la distanza di $\mathbf{x}$ qui: \(\mathbb{R}^N\setminus U\) chiuso oppure, se il libro contenesse un refuso ed avessi ragione io, $K$ chiuso e limitato...
\(+\infty\) grazie ancora!!!
Dico forse perché si tratta dell'insieme da cui si prende la distanza di $\mathbf{x}$ qui: \(\mathbb{R}^N\setminus U\) chiuso oppure, se il libro contenesse un refuso ed avessi ragione io, $K$ chiuso e limitato...
\(+\infty\) grazie ancora!!!
Bene, allora la distanza è Lipschitziana (non importa che \(S\) sia limitato o meno).
Solo lipschitziana, quindi. Allora probabilmente il Sernesi suppone che il lettore abbia conoscenze di analisi più avanzate delle mie per vedere che una funzione di classe $C^{\infty}$ composta con quella distanza sia a sua volta di classe $C^{\infty}$...
Grazie di cuore ancora, رجل!!!
Grazie di cuore ancora, رجل!!!
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