Distanza
Ciao 
Sto cercando di risolvere questo esercizio:
Sia $X$ lo spazio delle successioni reali, prese $x=(x_n)$, $y=(y_n)$ in $X$ definiamo
$$
d(x,y) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} \frac{|y_k-x_k|}{1+|y_k-x_k|}.
$$
Provare che $d$ è una distanza su $X$ non indotta da alcuna norma.
Non ho avuto problemi a dimostrare che per ogni $x,y \in X$:
1) $d(x,y) \geq 0$
2) $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
3) $d(x,y)=d(y,x)$
Ma sto trovando difficoltà a dimostrare la disuguaglianza triangolare.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Sto cercando di risolvere questo esercizio:
Sia $X$ lo spazio delle successioni reali, prese $x=(x_n)$, $y=(y_n)$ in $X$ definiamo
$$
d(x,y) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} \frac{|y_k-x_k|}{1+|y_k-x_k|}.
$$
Provare che $d$ è una distanza su $X$ non indotta da alcuna norma.
Non ho avuto problemi a dimostrare che per ogni $x,y \in X$:
1) $d(x,y) \geq 0$
2) $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
3) $d(x,y)=d(y,x)$
Ma sto trovando difficoltà a dimostrare la disuguaglianza triangolare.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Risposte
Se non ho sbagliato i conti, mi sembra che in generale valga che se \(d : X \times X \to \mathbb{R}^+ \) è una metrica, allora lo è anche \(d/(1+d)\). Una volta che hai dimostrato questo fatto, sei a posto: volendo mostrare che \[\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \le \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)} + \frac{d(y,z)}{1+d(y,z)} \]per ogni \(x,y,z \in X\), fai semplicemente denominatore comune e poi usa il fatto che \(d\) è una metrica (per la quale vale quindi la disuguaglianza triangolare)...
@Delirium.
Certo che non hai sbagliato i conti:
e d'altronde direi che è questa la ragione per la quale su un insieme qualunque può essere definita(partendo dalla cosidetta "distanza banale"),un'infinita almeno numerabile di distanze(addirittura direi almeno con la potenza del continuo,moltiplicando per un'arbitraria costante reale la legge definitoria della distanza citata prima).
@OP
Non leggio bene il testo dal cellulare,ma ad occhio mi chiedo se non vada aggiunta almeno l'ipotesi che le arbitrarie successioni siano sommabilì:
ad ogni modo,così su due piedi,proverei ad attaccare il secondo quesito cercando una terna di successioni sommabili per le quali la distanza in questione non è invariante per traslazioni..
Saluti dal web.
Certo che non hai sbagliato i conti:
e d'altronde direi che è questa la ragione per la quale su un insieme qualunque può essere definita(partendo dalla cosidetta "distanza banale"),un'infinita almeno numerabile di distanze(addirittura direi almeno con la potenza del continuo,moltiplicando per un'arbitraria costante reale la legge definitoria della distanza citata prima).
@OP
Non leggio bene il testo dal cellulare,ma ad occhio mi chiedo se non vada aggiunta almeno l'ipotesi che le arbitrarie successioni siano sommabilì:
ad ogni modo,così su due piedi,proverei ad attaccare il secondo quesito cercando una terna di successioni sommabili per le quali la distanza in questione non è invariante per traslazioni..
Saluti dal web.
@theras: c'è un fattore \(1/k!\) che dovrebbe far funzionare le cose per successioni qualsiasi (se è quello che intendevi).
@Del
È quello che intendevo,ma continuo a chiedermi perché sia così:
dopo il confronto asintotico col canonico sviluppo in serie di potenze del numero di Nepero resta un rapporto non controllabile a priori,se non a patto d'aggiungere almeno l'ipotesi che la successione $"{y"_"n" "-x"_"n" "}"$ sia regolare(che tra l'altro direi necessaria,insieme addirittura alla sua convergenza,per rendere la tua d un'effettiva metrica per poi poter proseguire con la tua osservazione),come non sarebbe scontato se almeno una delle due serie fosse oscillante..
Ad ogni modo:
che ne dici del controesempio da me cercato?
Saluti dal web.
È quello che intendevo,ma continuo a chiedermi perché sia così:
dopo il confronto asintotico col canonico sviluppo in serie di potenze del numero di Nepero resta un rapporto non controllabile a priori,se non a patto d'aggiungere almeno l'ipotesi che la successione $"{y"_"n" "-x"_"n" "}"$ sia regolare(che tra l'altro direi necessaria,insieme addirittura alla sua convergenza,per rendere la tua d un'effettiva metrica per poi poter proseguire con la tua osservazione),come non sarebbe scontato se almeno una delle due serie fosse oscillante..
Ad ogni modo:
che ne dici del controesempio da me cercato?
Saluti dal web.
"theras":
@Del
È quello che intendevo,ma continuo a chiedermi perché sia così:
dopo il confronto asintotico col canonico sviluppo in serie di potenze del numero di Nepero resta un rapporto non controllabile a priori,se non a patto d'aggiungere almeno l'ipotesi che la successione $"{y"_"n" "-x"_"n" "}"$ sia regolare(che tra l'altro direi necessaria,insieme addirittura alla sua convergenza,per rendere la tua d un'effettiva metrica per poi poter proseguire con la tua osservazione),come non sarebbe scontato se almeno una delle due serie fosse oscillante.. [...]
Continuo a non capire: non c'è bisogno di fare confronto asintotico, basta osservare che \[\frac{1}{k!} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|} \le \frac{1}{k!} \quad \forall \, k \in \mathbb{N}\]indipendentemente dalle successioni scelte. La serie così definita è a termini positivi e maggiorata da una serie convergente, quindi anch'essa convergente.
"theras":
[...]
Ad ogni modo:
che ne dici del controesempio da me cercato?
Saluti dal web.
Al momento non ho tempo per pensare ad un controesempio, ma potrebbe funzionare. A volte si prova anche a "far saltare" l'omogeneità (a questo punto, però, sarebbe bello se intervenisse anche l'OP...).
Uazz,certo,scherzi del caldo 
:
erroneamente sono andato sparato al corollario di quel teorema(ovvero al "confronto asintotico"),e non mi tornava la tesi nel caso di oscillazione dei termini generali.
Grazie,e per il resto eventualmente ne riparliamo:
saluti dal web.
P.S.Mi sa che invece quella distanza è invariante per traslazioni..
:erroneamente sono andato sparato al corollario di quel teorema(ovvero al "confronto asintotico"),e non mi tornava la tesi nel caso di oscillazione dei termini generali.
Grazie,e per il resto eventualmente ne riparliamo:
saluti dal web.
P.S.Mi sa che invece quella distanza è invariante per traslazioni..
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