\(\displaystyle |x|_{X_1\times...\times X_n} \to 0 \implies |x_j|_{X_j}\to 0 \)
Sto cercando di dimostrare che nello spazio vettoriale normato \(\displaystyle (X=X_1\times...\times X_n, |\cdot |_X) \) (dove \(\displaystyle X_1,...,X_n \) sono spazi vettoriali normati, ognuno con la propria norma) deve sempre accadere, qualunque sia la norma \(\displaystyle |\cdot |_X \) che:
\(\displaystyle |x|_X \to 0 \implies |x_j|_{X_j}\to 0 \)
mi sembra una cosa ovvia da dire, perché se la norma di $x$ diventa nulla, si deve avere che $x=0$ e di conseguenza ognuna delle sue componenti è nulla, e quindi le norme sulle singole componenti sono nulle.
In ogni caso, non riesco a formalizzare la cosa.
Utilizzo la funzione \(\displaystyle \pi_j:X\to\mathbb{R} \) che mappa \(\displaystyle x\mapsto |x_j|_{X_j} \) e voglio far vedere che:
\(\displaystyle \lim_{X \ni x\to 0}\pi_j(x)=0 \)
Se per assurdo suppongo che il limite esiste ma non è 0, è facile. Se invece per assurdo suppongo che il limite non esista affatto, non riesco ad arrivare a nessun assurdo lampante, nemmeno usando il negato del criterio di Cauchy (che posso usare in quanto \(\displaystyle \mathbb{R} \) è completo).
Qualcuno può gentilmente farmi vedere cosa mi sto perdendo?
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle |x|_X \to 0 \implies |x_j|_{X_j}\to 0 \)
mi sembra una cosa ovvia da dire, perché se la norma di $x$ diventa nulla, si deve avere che $x=0$ e di conseguenza ognuna delle sue componenti è nulla, e quindi le norme sulle singole componenti sono nulle.
In ogni caso, non riesco a formalizzare la cosa.
Utilizzo la funzione \(\displaystyle \pi_j:X\to\mathbb{R} \) che mappa \(\displaystyle x\mapsto |x_j|_{X_j} \) e voglio far vedere che:
\(\displaystyle \lim_{X \ni x\to 0}\pi_j(x)=0 \)
Se per assurdo suppongo che il limite esiste ma non è 0, è facile. Se invece per assurdo suppongo che il limite non esista affatto, non riesco ad arrivare a nessun assurdo lampante, nemmeno usando il negato del criterio di Cauchy (che posso usare in quanto \(\displaystyle \mathbb{R} \) è completo).
Qualcuno può gentilmente farmi vedere cosa mi sto perdendo?
Grazie in anticipo.
Risposte
M O L T O più semplicemente, dimostra che
\[
|x_j|_{X_j}\le |x|_{X_1\times \ldots \times X_n},\]
il che è ovvio, e concludi con il teorema dei carabinieri (il cui nome italiano trovo orrendo, mi fa venire in mente le barzellette).
\[
|x_j|_{X_j}\le |x|_{X_1\times \ldots \times X_n},\]
il che è ovvio, e concludi con il teorema dei carabinieri (il cui nome italiano trovo orrendo, mi fa venire in mente le barzellette).
Il problema è: che vuol dire "qualunque sia la norma $|*|_X$"?
"dissonance":
M O L T O più semplicemente, dimostra che
\[ |x_j|_{X_j}\le |x|_{X_1\times \ldots \times X_n}, \]
il che è ovvio, e concludi con il teorema dei carabinieri (il cui nome italiano trovo orrendo, mi fa venire in mente le barzellette).
Non ho idea di come fare, poiché \(\displaystyle |\cdot|_X \) può essere qualunque cosa.
"gugo82":
Il problema è: che vuol dire "qualunque sia la norma $ |*|_X $"?
Una qualunque funzione da \(\displaystyle X \) a \(\displaystyle \mathbb{R} \) che abbia queste proprietà:
1. \(\displaystyle |x|_X=0 \iff x=0 \),
2. \(\displaystyle |\lambda x|_X=|\lambda|\cdot |x|_X \),
3. \(\displaystyle |x_1+x_2|_X\leq |x_1|_X+|x_2|_X \).
Ah ma allora è falso. Puoi mettere su X una norma qualsiasi che non c'entra nulla con le norme sui fattori Xj.
"dissonance":
Ah ma allora è falso. Puoi mettere su X una norma qualsiasi che non c'entra nulla con le norme sui fattori Xj.
Appunto.
Le generalizzazioni vanno cercate con criterio, non ad mentula canis.
Quando si mette una norma su un prodotto di spazi normati, lo si fa in modo da avere automaticamente (o quasi) la proprietà che richiede Silent.
Ad esempio, $|x|_X = max \{ |x_1|_(X_1), ..., |x_n|_(X_n)\}$ oppure $|x|_X = (sum_(i=1)^n |x_i|_(X_i)^p)^(1/p)$.
In modo più quantitativo, la proprietà che dice Silent è equivalente all'esistenza di costanti \(C_1, C_2,\ldots, C_n>0\) tali che
\[
\lvert x_j\rvert_{X_j}\le C_j\lvert (0, \ldots, x_j,\ldots,0)\rvert_X.\]
Equivalentemente, questo significa che le proiezioni \(X\to X_j\) sono applicazioni lineari continue.
Se \(X\) è uno spazio di dimensione finita allora questa proprietà è verificata automaticamente, qualsiasi sia la norma \(\lvert\cdot\rvert_X\). Se invece \(X\) è di dimensione infinita, non è detto. Qui stiamo andando a parare nel problema "del sottospazio complementato" dell'analisi funzionale: https://en.wikipedia.org/wiki/Complemented_subspace
Per esempio, se \(X=L^1(0, 1)\) e \(X_1=C([0, 1])\), allora per motivi di assioma della scelta esiste un sottospazio vettoriale \(X_2\) di \(X\) tale che
\[
X=X_1\oplus X_2,\]
in senso algebrico. Si può mettere su \(X_2\) una norma qualsiasi, "ad mentula canis" come dice Gugo, ma in ogni caso la proiezione di \(X\) su \(X_1\) non sarà mai continua. Infatti, esistono successioni \(f_n\in X\) che convergono nel senso di \(L^1\) ma NON convergono uniformemente, e quindi non convergono nel senso di \(X_1\).
\[
\lvert x_j\rvert_{X_j}\le C_j\lvert (0, \ldots, x_j,\ldots,0)\rvert_X.\]
Equivalentemente, questo significa che le proiezioni \(X\to X_j\) sono applicazioni lineari continue.
Se \(X\) è uno spazio di dimensione finita allora questa proprietà è verificata automaticamente, qualsiasi sia la norma \(\lvert\cdot\rvert_X\). Se invece \(X\) è di dimensione infinita, non è detto. Qui stiamo andando a parare nel problema "del sottospazio complementato" dell'analisi funzionale: https://en.wikipedia.org/wiki/Complemented_subspace
Per esempio, se \(X=L^1(0, 1)\) e \(X_1=C([0, 1])\), allora per motivi di assioma della scelta esiste un sottospazio vettoriale \(X_2\) di \(X\) tale che
\[
X=X_1\oplus X_2,\]
in senso algebrico. Si può mettere su \(X_2\) una norma qualsiasi, "ad mentula canis" come dice Gugo, ma in ogni caso la proiezione di \(X\) su \(X_1\) non sarà mai continua. Infatti, esistono successioni \(f_n\in X\) che convergono nel senso di \(L^1\) ma NON convergono uniformemente, e quindi non convergono nel senso di \(X_1\).
"dissonance":
Se \(X\) è uno spazio di dimensione finita allora questa proprietà è verificata automaticamente
Di questo fatto parlammo più di DODICI anni fa con ViciousGoblin, qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 25#p227425
Il fatto che la presente discussione vada a ricollegarsi con un'altra di tanto tempo fa è un chiaro esempio della portata del nostro forum. Per dare un termine di paragone, dodici anni fa Math.StackExchange ancora non esisteva. Noi, qui, abbiamo una quantità di informazioni incredibile, e adesso che c'è stato un passaggio di proprietà bisognerà farlo capire alla nuova gestione.
Grazie ragazzi 
Questo teorema:
Per una trasformazione multilineare \(\displaystyle A.X_1\times ...\times X_n\to Y \) che mappa il prodotto cartesiano di spazi normati \(\displaystyle X_1,...,X_n \) nello spazio normato , le condizioni seguenti sono equivalenti:
a) A ha norma finita,
b) A è una trasformazione limitata,
c) A è una trasformazione continua,
d) A è continua in \(\displaystyle (0,0,...,0) \).
utilizza la proprietà oggetto del post per provare che \(\displaystyle b)\implies c) \).
Devo dedurre quindi che questo teorema vale solo se si pensa alle norme che ha elencato prima gugo82 (o almeno, a tutte quelle che rispettano la proprietà oggetto del post)?
In generale quindi non è vero?
Per una trasformazione multilineare \(\displaystyle A.X_1\times ...\times X_n\to Y \) che mappa il prodotto cartesiano di spazi normati \(\displaystyle X_1,...,X_n \) nello spazio normato , le condizioni seguenti sono equivalenti:
a) A ha norma finita,
b) A è una trasformazione limitata,
c) A è una trasformazione continua,
d) A è continua in \(\displaystyle (0,0,...,0) \).
utilizza la proprietà oggetto del post per provare che \(\displaystyle b)\implies c) \).
Devo dedurre quindi che questo teorema vale solo se si pensa alle norme che ha elencato prima gugo82 (o almeno, a tutte quelle che rispettano la proprietà oggetto del post)?
In generale quindi non è vero?
Senti, quando si dice "prodotto di spazi normati", si intende che le proiezioni sono continue. Ora sarebbe carino trovare un controesempio alla proprietà che dici quando tale continuità viene meno, ma non mi viene in mente così su due piedi.
"dissonance":
Senti, ...
Creod di averti fatto in qualche modo spazientire con le mie domande, sorry.
Ripeto: ragionamenti del tipo -Che bello ho uno spazio prodotto! Ora ci metto su una norma "a ©@%%0 di cane" e vedo che succede...- lasciali a chi si occupa di trovare controesempi per professione.
Uno spazio prodotto di spazi normati non viene mai normato "a ©@%%0", almeno non quando si ha in mente di utilizzarlo per fare qualcosa di utile.
Che libro stai studiando?
Uno spazio prodotto di spazi normati non viene mai normato "a ©@%%0", almeno non quando si ha in mente di utilizzarlo per fare qualcosa di utile.
Che libro stai studiando?
"Silent":
[quote="dissonance"]Senti, ...
Creod di averti fatto in qualche modo spazientire con le mie domande, sorry.[/quote]
Ma assolutamente no, scusami tu se ti ho dato questa impressione! Anzi, sono riflessioni simpatiche.
"gugo82":
Ripeto: ragionamenti del tipo -Che bello ho uno spazio prodotto! Ora ci metto su una norma "a ©@%%0 di cane" e vedo che succede...- lasciali a chi si occupa di trovare controesempi per professione.
Ero semplicemente curioso di capire se certe proprietà sono vere in generale o meno. Quindi di conseguenza capire se e quando il teorema sugli enunciati equivalenti di continuità/limitatezza smette di valere.
"gugo82":
Che libro stai studiando?
Il secondo volume di Zorich.
Madò, ancora…
Già, purtroppo sono lento e posso studiare solo nei weekend o la sera dopo il lavoro. Lo porterò con me ancora per molto.
Non era per la lentezza, ma per il testo.
Visti i dubbi che ti vengono, non mi pare il massimo per uno studio autonomo (come ho già avuto occasione di dirti).
Visti i dubbi che ti vengono, non mi pare il massimo per uno studio autonomo (come ho già avuto occasione di dirti).
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