\(\displaystyle o(sin(x))\)
Vi faccio un esempio: mettiamo io debba calcolare lo sviluppo di Mclaurin del \(\displaystyle ln(1+sin(x)) \)
Allora inizio e ottengo qualcosa come:
\(\displaystyle ln(1+sin(x))=sin(x)+o(sin(x)) \) (per l'esempio non credo serva andare oltre!)
Ora però non riesco a trovare nessuna funzione che sia \(\displaystyle o(sin(x)) \)! ossia una funzione per cui valga \(\displaystyle lim_{x->0} {f(x) \over sin(x)} = 0 \) quindi vado a sviluppare il DENTRO l'o-piccolo (mettiamo fino al terzo ordine) e ottengo:
\(\displaystyle o(1- {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6}+o(x^3)) \), e qui mi fermo.
Qualcuno mi spiega come andare avanti?
Allora inizio e ottengo qualcosa come:
\(\displaystyle ln(1+sin(x))=sin(x)+o(sin(x)) \) (per l'esempio non credo serva andare oltre!)
Ora però non riesco a trovare nessuna funzione che sia \(\displaystyle o(sin(x)) \)! ossia una funzione per cui valga \(\displaystyle lim_{x->0} {f(x) \over sin(x)} = 0 \) quindi vado a sviluppare il DENTRO l'o-piccolo (mettiamo fino al terzo ordine) e ottengo:
\(\displaystyle o(1- {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6}+o(x^3)) \), e qui mi fermo.
Qualcuno mi spiega come andare avanti?
Risposte
Qualsiasi $x^(a)$ con $a>1$ è un opiccolo di sinx per x che tende a zero
ho verificato ed è giusto..tutto il tempo me lo perdo per queste stupidaggini! 
Allora scusatemi ancora, ho ripreso l'esercizio e mi sono nuovamente bloccato, tutta colpa di questa matriosca di o-piccoli. Praticamente adesso mi trovo in questa situazione:
Partendo da \(\displaystyle ln(1+xsin(x)) \)
sviluppo al primo ordine il seno e come suggeritomi ottengo:
\(\displaystyle ln(1+x(1+o(x^2)))=ln(1+x+o(x^3))\) (mi fermo al primo ordine col seno)
Ora per andare avanti e sviluppare il logaritmo come devo procedere?
Se considero \(\displaystyle f(x)=x+o(x^3) \) devo sviluppare \(\displaystyle ln(1+f(x)) \)? E' corretto?
Partendo da \(\displaystyle ln(1+xsin(x)) \)
sviluppo al primo ordine il seno e come suggeritomi ottengo:
\(\displaystyle ln(1+x(1+o(x^2)))=ln(1+x+o(x^3))\) (mi fermo al primo ordine col seno)
Ora per andare avanti e sviluppare il logaritmo come devo procedere?
Se considero \(\displaystyle f(x)=x+o(x^3) \) devo sviluppare \(\displaystyle ln(1+f(x)) \)? E' corretto?
Hai scritto male lo sviluppo del seno. A parte questo, secondo me ti conviene cominciare a sviluppare partendo "dall'esterno":
\[\ln(1+x\sin x)= x\sin x+o(x\sin x) =x\sin x+o(x^2)\]
L'ultima uguaglianza viene dal fatto che se $f\approx g$ per $x\to x_0$ (cioè se $\lim_{x\to x_0}f(x)/g(x)=1$), allora
\[o_{x_0}(f(x))=o_{x_0}(g(x))\]
in quanto
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{o_{x_0}(f(x))}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{o_{x_0}(f(x))}{f(x)}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\cdot 1=0\]
Nell'esempio qua sopra $f(x)=x\sin x$ e $g(x)=x^2$.
Se questo non elimina l'indeterminazione, continua sviluppando il seno fino all'ordine che serve.
\[\ln(1+x\sin x)= x\sin x+o(x\sin x) =x\sin x+o(x^2)\]
L'ultima uguaglianza viene dal fatto che se $f\approx g$ per $x\to x_0$ (cioè se $\lim_{x\to x_0}f(x)/g(x)=1$), allora
\[o_{x_0}(f(x))=o_{x_0}(g(x))\]
in quanto
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{o_{x_0}(f(x))}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{o_{x_0}(f(x))}{f(x)}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\cdot 1=0\]
Nell'esempio qua sopra $f(x)=x\sin x$ e $g(x)=x^2$.
Se questo non elimina l'indeterminazione, continua sviluppando il seno fino all'ordine che serve.
Ok, mi scuso per il banale errore dell sviluppo, evidentemente ero distratto. Il problema è che io debbo arrivare ad un o-piccolo di \(\displaystyle x^4 \) e pensavo di aver intuito che se fossi passato per uno sviluppo interno non avrei avuto complicazioni come lo sviluppo di seni cubici o quadri!
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