Dispense (per esercizi sulle serie)

[picchi]

devo risolvere esercizi del tipo:
"Calcolare $ lim_(n -> oo ) sum_(k = 0)^(oo) n / (n^2 +k^2) $ "

Dove posso trovare la teoria che mi aiuta a risolverli?

Grazie

[Giant_Rick]

Qui non c'è nulla?

[Seneca1]

Secondo me è sufficiente capire cosa rappresenta quel limite...

[gugo82]

Dipende dal background che hai...
Ad esempio, ti potrebbe aiutare conoscere le funzioni speciali, come la funzioni gamma (denotata con $\Gamma (z)$) e digamma (denotata con $\psi (z)$), le relazioni che intercorrono tra di esse e le loro proprietà.

Una possibile soluzione:

Per comodità introduciamo la variabile continua $x$ al posto di $n$.

La serie si riscrive \( \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x}{x^2+k^2}\) ed è evidente che essa converge uniformemente sui compatti, quindi può essere derivata ed integrata t.a.t. rispetto a $x$.

Per ogni $K\geq 1$ si ha:
\[ \sum_{k=0}^{K-1} \frac{x}{x^2+k^2} =\frac{1}{2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \sum_{k=0}^{K-1} \ln (x^2+k^2) = \frac{1}{2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \ln \prod_{k=0}^{K-1} (x^2+k^2) \right] \; ;\]
ora abbiamo:
\[ \begin{split} \prod_{k=0}^{K-1} (x^2+k^2) &= \prod_{k=0}^{K-1} (k+\imath x)(k-\imath x) \\ &= \prod_{k=0}^{K-1} (k+\imath x)\ \prod_{k=0}^{K-1} (k-\imath x)\\ &= \frac{\Gamma (\imath x+K)}{\Gamma(\imath x)}\ \frac{\Gamma (-\imath x+K)}{\Gamma(-\imath x)} \; ,\end{split}\]
quindi:
\[ \sum_{k=0}^{K} \frac{x}{x^2+k^2} =\frac{1}{2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \Big[ \ln \Gamma (K+\imath x) +\ln \Gamma (K-\imath x) -ln \Gamma (\imath x)-\ln \Gamma (-\imath x)\Big] \; .\]
Derivando e tenendo presente che \(\psi (z):= \frac{\text{d}}{\text{d} z} [\ln \Gamma (z)]\) si ottiene:
\[\tag{1} \sum_{k=0}^{K} \frac{x}{x^2+k^2} =\frac{\imath}{2} \Big[ \psi (K+\imath x)-\psi (K-\imath x)-\psi (\imath x)+\psi (-\imath x) \Big] \; .\]
Per ogni \(z,\zeta \in \mathbb{C}\setminus \{ 0\}\) valgono le relazioni*:
\[ \tag{2} \begin{split} \psi (1-z) &=\psi (z)+\pi\ \cot (\pi z) \\ \psi (1+\zeta) &= \psi (\zeta) +\frac{1}{\zeta}\end{split}\]
e, facendo \(z=\imath x\) nella prima e \(\zeta=-\imath x\) nella seconda (con \( x\neq 0\)), sottraendo membro a membro e riordinando le (2) si ottiene:
\[ \psi (-\imath x)-\psi (\imath x)=\frac{1}{\imath x}+\pi \cot (\pi \imath x) \; ;\]
ricordando che \( \imath \cot (\imath z) = \coth z\) si ottiene infine:
\[ \imath (\psi (-\imath x)-\psi (\imath x))=\frac{1}{x}+\pi \coth (\pi x) \; ,\]
sicché la (1) si riscrive:
\[\tag{3} \sum_{k=0}^{K} \frac{x}{x^2+k^2} =\frac{\imath}{2} \Big[ \psi (K+\imath x)-\psi (K-\imath x)\Big] + \frac{1}{2x}+\frac{\pi}{2}\ \coth (\pi x) .\]
Ora, ricordando che \( \psi (z)= \ln z +\text{O}(\frac{1}{z})\) quando \( |z|\to +\infty\) in un angolo del piano complesso con vertice in \( 0\) non contenente il semiasse reale negativo (quindi per \( |\text{Arg} (z)|\leq \pi -\delta\) con \( \delta \in ]0,\pi[\); cfr. DLMF, §5.11(1)) e notando che, per ogni fissato \( x\in \mathbb{R}\) si ha:
\[ \lim_K |K\pm \imath x| =+\infty \quad \text{e}\quad |\text{Arg}(K \pm \imath x)|\leq \frac{\pi}{2} \; ,\]
passando al limite per \( K\to +\infty\) la (3) si trova:
\[ \begin{split} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x}{x^2+k^2} &= \frac{1}{2x}+\frac{\pi}{2}\ \coth (\pi x) +\lim_K \frac{\imath}{2} \Big[ \psi (K+\imath x)-\psi (K-\imath x)\Big]\\ &= \frac{1}{2x}+\frac{\pi}{2}\ \coth (\pi x) +\frac{\imath}{2}\ \lim_K \ln \frac{K+\imath x}{K-\imath x} + \text{O} (\frac{1}{K}) \\ &= \frac{1}{2x}+\frac{\pi}{2}\ \coth (\pi x) \; ,\end{split}\]
cosicché abbiamo una (bellissima) espressione esplicita della somma della serie di funzioni valida per \( x\neq 0\).

Di conseguenza:
\[ \lim_n \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{n}{n^2+k^2} = \lim_n \frac{1}{2n}+\frac{\pi}{2}\ \coth (\pi n) =\frac{\pi}{2} \; .\]

__________
* Usando iterativamente la seconda delle (2), si vede che è possibile scrivere immediatamente \( \psi_0(K+\zeta) =\psi_0(\zeta) +\sum_{k=0}^{K-1} \frac{1}{z+k}\): in tal modo si riesce a ricavare la (1) senza troppi arzigogoli.

Ma tanto adesso arriverà qualcuno che proporrà la solita banale soluzione con gli integrali e questo special functions approach sarà bello che dimenticato.

[picchi]

grazie mille!! in realtà cerco soluzioni con gli integrali...! ma che tipo di argomento dovrei ricercare??? limiti di serie?

[gugo82]

Vabbé... Visto che nessuno s'è fatto avanti, la propongo io la "solita banale soluzione con gli integrali".

Consideriamo \( n\geq 1\) fissato.
Evidentemente la funzione:
\[f_n(x):=\frac{n}{n^2+x^2} = \frac{1}{n}\ \frac{1}{1+(\frac{x}{n})^2}\]
è strettamente decrescente per \( x\in [0,+\infty[\); inoltre la serie assegnata si può scrivere come \( \sum_{k=0}^{+\infty} f_n(k)\) e \( f_n(0)=\frac{1}{n}\) (questo ci servirà più avanti, nel ricavare la (2.c)).

Dalle proprietà di monotonia di \( f_n(x)\) discende che:
\[ \begin{align} \tag{1.a} \forall k\geq 0,\ \forall x\in [k,k+1], \quad f_n(x)&\leq f_n(k) \\ \tag{2.a} \forall k\geq 1,\ \forall x\in [k-1,k], \quad f_n(k)&\leq f_n(x) \end{align}\]
sicché, integrando le (1.a) & (2.a) m.a.m. rispettivamente su \([k,k+1]\) e su \([k-1,k]\), si ha:
\[ \begin{align} \tag{1.b} \forall k\geq 0, \quad \int_k^{k+1} f_n(x)\ \text{d} x &\leq \int_k^{k+1} f_n(k)\ \text{d} x=f_n(k) \\ \tag{2.b} \forall k\geq 1, \quad f_n(k) =\int_{k-1}^k f_n(k)\ \text{d} x&\leq \int_{k-1}^k f_n(x)\ \text{d} x \; .\end{align}\]
Fissato \( K\geq 1\), per la proprietà additiva degli integrali dalle (1.b) & (2.b) discende:
\[ \begin{align} \tag{1.c} \int_0^{K+1} f_n(x)\ \text{d} x = \sum_{k=0}^K \int_k^{k+1} f_n(x)\ \text{d} x &\leq \sum_{k=0}^K f_n(k) \\ \tag{2.c} \sum_{k=0}^K f_n(k) =\frac{1}{n} +\sum_{k=1}^K f_n(k) &\leq \frac{1}{n} + \sum_{k=1}^K \int_{k-1}^k f_n(x)\ \text{d} x= \frac{1}{n} +\int_0^K f_n(x)\ \text{d} x \end{align}\]
onde, confrontando le (1.c) & (2.c) e passando al limite per \( K\to +\infty\), si ha:
\[ \tag{3} \int_0^{+\infty} f_n(x)\ \text{d} x \leq \sum_{k=0}^{+\infty} f_n(k) \leq \frac{1}{n} +\int_0^{+\infty} f_n(x)\ \text{d} x \; ,\]

Infine, il risultato del limite assegnato si ottiene calcolando esplicitamente l'integrale che figura ai membri esterni della (3) e passando al limite per \( n\to +\infty\).

Ah... Ovviamente l'integrale \( \int_0^{+\infty} f_n(x)\ \text{d} x =\int_0^{+\infty} \frac{1}{n}\ \frac{1}{1+(\frac{x}{n})^2}\ \text{d} x\) è elementare.

Ad ogni buon conto, di solito per risolvere esercizi come questo serve solo avere un po' d'occhio e conoscere le proprietà degli integrali...