Disgiunzione intorni sferici

[miry93-thebest]

Ciao! vorrei aiuto per questo esercizio, Si dimostri che le palle B(x;R) e B(y;R) sono disgiunte. grazie !

[Emar1]

Ci provo ma su queste sono sono un po' scarso

Supponiamo per assurdo che non siano disgiunti. Quindi: $A \cap B \ne \emptyset \rightarrow \exists w \in A \cap B$. Allora vale $\||w-x\|| + \||w-y\|| > \||x-y\||$ e al limite $2R > \||x-y\||$ da cui $\frac{2}{3}d < d$ il che è falso e da qui la tesi.

E' un po' da sistemare forse

EDIT: Avevo invertito i segni della disuguaglianza!

[Paolo902]

@miry77

Provato a fare un disegnino? Prendi due punti; traccia il segmento che li congiunge e dividilo in tre parti. Quindi disegna le circonferenze di centro i punti e raggio pari a un terzo del segmento. Che cosa vedi?

@Emar

Sì, l'idea della disuguaglianza triangolare è giusta, anche se non ho capito bene che cosa hai scritto. Per assurdo, ci sia un punto $p$ che sta in entrambe le palle. Allora
\[
d=d(x,y) \le d(x,p) + d(p,y) < \frac{2}{3}d
\]
che è assurdo. Come vedi, l'argomento vale in un qualsiasi spazio metrico e questo dimostra, in linguaggio "tecnico", che gli spazi metrici sono di Hausdorff.

[Emar1]

@Paolo90

Avevo invertito i segni della disuguaglianza nella trascrizione

In effetti se lo spazio non fosse $T_2$ non varrebbe dato che esisterebbero sempre intorni non disgiunti di due punti $x$ e $y$. Corretto?

Grazie