Disequazioni trigonometriche argomento angolo non notevole

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Salve a tutti.
Verificando $\lim_{x \to \0}sinx=0$ e $\lim_{x \to \0}cosx=1$, per trovare $\delta$, devo confrontare $x< \delta$ o $x>\-delta$ con le disequazioni $sinx < \epsilon$ e $cosx < \1+epsilon$, posso anche usare $sinx > \-epsilon$ e $cosx > \1- epsilon$. Ho visto delle videolezioni sullo svolgimento di disequazione goniometriche ma solo nel caso di funzioni il cui argomento è un angolo noto. Avreste da consigliarmi del materiale online sulle disequazioni trigonometriche? Non so se è stato trattato questo argomento sul vostro forum; ho provato a cercare, velocemente e, quindi, ammetto, un po' superficialmente, su google "disequazioni trigonometriche angoli non notevoli" ma non trovo nulla.
Aggiungo che per le equazioni mi è stato consigliato un metodo con cui regolarmi che, però, non mi ha aiutato a giustificare, questione posta a pag. 81 del capitolo 2 del Bramanti - Pagani - Salsa (Funzioni di una variabile, 4.3 Le funzioni trigonometriche inverse), le soluzioni di equazioni e disequazioni trigonometriche con argomento angoli non notevoli espresse attraverso funzioni trigonometriche inverse ragionando, cosa fatta, sulla definizione di funzione trigonometrica inversa, e, cosa non fatta, sulla circonferenza. Potreste aiutarmi anche, dandomi qualche indizio, sul ragionamento da fare per giustificarle?

[gugo82]

Prendi un libro di quarto scientifico.

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Ho risolto $sinx < \epsilon$ sfruttando l'equazione associata $sinx = \epsilon$ i cui risultati sono $x= arcsin\epsilon + 2k\pi$ o $x= \pi - arcsin\epsilon + 2k\pi$. Le soluzioni della disequazioni saranno quelle dell'intervallo al di sotto della retta che interseca la circonferenza o il seno nel caso di una rappresentazione sul piano, quindi i risultati sarebbero: $arcsin\epsilon + 2k\pi

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[gugo82]

Puoi scriverle in maniera più compatta usando gli archi negativi e puoi lasciar stare le periodicità, perché ti servono le soluzioni che cadono intorno a $0$ e non altrove.
Ad esempio, $sin x < epsilon$ ha soluzioni $-pi-arcsin epsilon < x < arcsin epsilon$ (ovviamente si assume $0 < epsilon <= 1$).

D'altra parte, per la disequazione $cos x < 1 + epsilon$ non trovi le soluzioni corrette: perché?

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Avevo pensato di scriverle come hai fatto tu ma non usando gli archi negativi. Semplicemente, però, ho pensato si potessero confondere con le soluzioni della disequazione di segno $>=$. Avrei potuto, quelle della prima, scriverle anche come: $0 < x < arcsin\epsilon$ $vv$ $\pi - arcsin\epsilon < x < 2\pi$. Vero? Non capisco perché usi gli archi negativi e come questo sia lecito.

Per quanto riguarda la seconda ho sfruttato la retta $y = cosx = 1+\epsilon$ e questo non è possibile perché $cosx$ è diverso da un valore che è maggiore di 1. $Cosx$ non è mai compreso fra $1$ e $1+ \epsilon$, ma è sicuramente compreso fra $-1$ e $1$. Da qui sapresti darmi qualche indizio per potermi "muovere"?

[gugo82]

Come ho già detto sopra, ti conviene riprendere i testi del liceo se hai dei dubbi su fatti così elementari come l'uso degli archi negativi.
Ad ogni modo, visto che devi risolvere il sistema $- epsilon < sin x < epsilon$, devi intersecare gli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni $sin x > - epsilon$ e $sin x < epsilon$, se non tutti, almeno nelle loro parti contenenti intorni di $0$; quindi è consigliabile esprimere le soluzioni già come intorni dello $0$, e ciò si fa facilmente sfruttando gli archi negativi.

Per quanto riguarda il resto, tutto giusto, ma manca la deduzione finale.
Dici che $cos x$ è sempre minore di $1+epsilon$ (con $epsilon >0$, s'intende) e quindi? Quali sono le $x$ per le quali è vera la disuguaglianza $cos x < 1+epsilon$?

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Mi verrebbe da dire che le soluzione che valgono per $-1<=cosx<=1$ valgono per $cosx < 1+\epsilon$, quindi $AA x in [0,2 pi]$.

[pilloeffe]

Esatto.