Disequazioni logaritmiche ed esponenziali

[mircosam]

salve, ho dubbi sui metodi risolutivi delle disequazioni logaritmiche ed esponenziali, qualcuno può aiutarmi? grazie

[Noisemaker]

Si chiamano disequazioni esponenziali tutte le disequazioni in cui l' incognita figura nell'esponente di qualche potenza. Una disequazione di tale tipo in forma canonica è una relazione del tipo:
\[a^{f(x)}\le a^{g(x)},\quad a^{f(x)}\ge a^{g(x)}.\]
Per risolvere una dosequazione di questo tipo, è sufficiente ricordare che le funzioni esponenziali sono monotone, sempre crescenti o sempre decrescenti; pertanto:
\begin{align}
\mbox{se}\quad a>1: \qquad a^{f(x)}&\le a^{g(x)}\quad\Rightarrow\quad f(x) \le g(x),\\
a^{f(x)}&\ge a^{g(x)}\quad\Rightarrow\quad f(x) \ge g(x);\\\\
\mbox{se}\quad 0 a^{f(x)}&\ge a^{g(x)}\quad\Rightarrow\quad f(x) \le g(x).
\end{align}

[size=85]Nel campo dei numeri reali $\RR$ risolvere la seguente disequazione:
\[3^{2x}-11\cdot 3^x+28<0\]
La disequazione è esponenziale; operiamo la sostituzione: $3^x=t;$ la disequazione diviene:
\[t^2-11t+28<0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4 Risostituendo otteniamo:
\begin{align}
4<3^x<7,\qquad\mbox{che equivale al sistema}\qquad\begin{cases}3^x>4\\3^x<7\end{cases}.
\end{align}
Poichè i due membri delle disequazioni non hanno la stessa base non si può procedere confrontando solo gli esponenti; tuttaivia teniamo presente che essendo i primi membri delle due disequazioni del sistema sempre positivi ($3^x$), ed essendo ovviamente $4,7>0$, restano definiti i logaritmi di entrambi i membri, cioè è lecito il passaggio algebrico:
\begin{align}
\begin{cases}\log_3 3^x>\log_34\\\log_3 3^x<\log_37\end{cases}=\begin{cases}x\log_3 3 >\log_34\\x\log_3 3 <\log_37\end{cases}=\begin{cases}x >\log_34\\x <\log_37\end{cases};
\end{align}
quindi in definitiva :
\begin{align}
3^{2x}-11\cdot 3^x+28<0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \log_34 \end{align}
[/size]

Si chiamano disequazioni logaritmiche quelle disequazioni in cui l'incognita figura nell'argomento di uno o più logaritmi. Ricordando che la funzione logaritmo è definita quando il suo argomento è maggiore (stretto) di zero, mediante un accorto uso delle proprietà dei logaritmi si cerca di ricondurre la disequazione assegnata alla forma canonica:
\[\log_a f(x) \le\log_a g(x) ,\quad \log_a f(x) \ge\log_a g(x).\]
Posto poi a sistema la disequazione cosi ottenuta con le condizioni di esistenza dei logaritmi in gioco, bisogna tener presente che il verso della disuguaglianza resta invariato se la base del logaritmo è$>1,$ mentre cambia se la base è $0 \begin{align}
\mbox{se}\quad a>1: \qquad \log_a f(x) \le\log_a g(x)\quad\Rightarrow\quad f(x) \le g(x),\\
\log_a f(x) \ge\log_a g(x)\quad\Rightarrow\quad f(x) \ge g(x);\\\\
\mbox{se}\quad 0 \log_a f(x) \le\log_a g(x)\quad\Rightarrow\quad f(x) \le g(x).
\end{align}

[size=85] Nel campo dei numeri reali $\RR,$ risolvere la seguente disequazione:
\begin{align*}
\left(\log_x2\right)\left(\log_{2x}2\right)\left(\log_24x\right)>1.
\end{align*}
La disequazione è una disequazione logaritmica. L'incognita compare sia all'interno dell'argomento del logaritmo sia nella base. Cerchiamo di eliminare l'incognita dalla base, ricordando che :
\begin{align*}
\log_a b=\frac{1}{\log_ba},
\end{align*}
la disequazione data risulta equivalente a:
\begin{align*}
\frac{1}{\log_2x}\cdot \frac{1}{\log_22x}\cdot\log_24x>1.
\end{align*}
Ora i logaritmi hanno tutti la stessa base e quindi possiamo applicarci e usuali proprietà; prima di tutto imponiamo le condizioni di esitenza dei logoritmi:
\begin{align*}
x>0, \quad\log_2x\ne0,\quad\log_22x\ne0\qquad\Rightarrow\qquad x>0, \quad x\ne1,\quad x\ne\frac{1}{2}.
\end{align*}
Sotto queste condizioni possiamo risolvere la disequazione: applicando ancora le proprietà dei logaritmi otteniamo:
\begin{align*}
\frac{1}{\log_2x}\cdot \frac{1}{\log_22x}\cdot\log_24x>1\quad&\to\quad \frac{1}{\log_2x}\cdot \frac{1}{\log_22+\log_2x}\cdot\left(\log_24+\log_2x\right)>1\\
\quad&\to\quad \frac{1}{\log_2x}\cdot \frac{1}{1+\log_2x}\cdot\left(2\log_22+\log_2x\right)>1\\
\quad&\to\quad \frac{1}{\log_2x}\cdot \frac{1}{1+\log_2x}\cdot\left(2 +\log_2x\right)>1;\\
\mbox{posto}\,\,\,\log_2x=t,\quad&\to\quad \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{1+t}\cdot\left(2 +t\right)>1\\
\quad&\to\quad \frac{2-t^2}{t(t+1)} >0.
\end{align*}
Quest'ultima è una disequazione razionale nell'incognita $t,$ e dunque studiandone il segno otteniamo:
\begin{align*}
N(x)>0:&\quad 2-t^2>0\,\,\to\,\,t^2-2<0\,\,\to\,\,-\sqrt2 D(x)>0:&\quad t(t+1)>0\,\,\to\,\,t^2+t>0\,\,\to\,\,t<-1\,\,\cup\,\,t>0,\\
\frac{N(x)}{D(x)}>0 :&\quad -\sqrt2 \end{align*}
risostituendo $t=\log_2x,$ otteniamo:
\begin{align*}
-\sqrt2<\log_2x<-1\quad&\cup\quad0<\log_2x<\sqrt2\\
\begin{cases}\log_2x<-1 \\ \log_2x> -\sqrt2
\end{cases}\quad&\cup\quad\begin{cases}\log_2x<\sqrt2 \\ \log_2x> 0
\end{cases}\\
\begin{cases}\log_2x<\log_22^{-1} \\ \log_2x> \log_22^{-\sqrt2}
\end{cases}\quad&\cup\quad\begin{cases}\log_2x<\log_22^{\sqrt2} \\ \log_2x>\log_22^0
\end{cases}\\
\begin{cases} x<\frac{1}{2} \\ x> 2^{-\sqrt2}
\end{cases}\quad&\cup\quad\begin{cases} x< 2^{\sqrt2} \\ x>1
\end{cases}
\end{align*}
L'unione di questi due intervalli delle soluzioni dei sistemi, danno l'insieme delle soluzioni della disequazione; possiamo concludere dunque che
\begin{align*}
\left(\log_x2\right)\left(\log_{2x}2\right)\left(\log_24x\right)>1\quad\Leftrightarrow\quad2^{-\sqrt2} \end{align*} [/size]