Disequazioni Logaritmiche
Mi rendo conto che per qualcuno l'argomento potrebbe risultare semplice ma ho dei problemi quando nello studio di funzione ci sono logaritmi ed esponenziali non avendo buone basi scolastiche a riguardo.
Ad esempio nello studiare il segno di questa funzione ho fatto così:
$ x+log((x-1)/x)>0$
$x+log(x-1)-log(x)>0$
$e^x+x-1-x>0$
$e^x>1$
$x>0$
sbagliando. La domanda è: come si risolve?
Ad esempio nello studiare il segno di questa funzione ho fatto così:
$ x+log((x-1)/x)>0$
$x+log(x-1)-log(x)>0$
$e^x+x-1-x>0$
$e^x>1$
$x>0$
sbagliando. La domanda è: come si risolve?
Risposte
"joe_abruzzi":
$x+log(x-1)-log(x)>0$
L'errore è nel passaggio successivo. Se applichi la funzione esponenziale trovi:
[tex]$e^{x+\log(x-1)-\log(x)} > e^0$[/tex] che non è quello che hai scritto tu.
Grazie mille per la risposta. Quindi la disuguaglianza diventerebbe $(e^x(x-1))/x$ Giusto?
Non riesco però ancora a semplificarla per ottenere il risultato.
Non riesco però ancora a semplificarla per ottenere il risultato.
Ma metodo grafico no?
"gugo82":
Ma metodo grafico no?
ovvero?
Mai sentito parlare di Teorema di esistenza degli zeri? Che poi ho una domanda: a cosa ti serve risolvere quella disequazione? Per uno studio di funzione e determinarne il segno? Se è così ti do un consiglio: lascia perdere e preoccupati di determinare i limiti e le derivate, piuttosto!
Ti spiego. All'ultimo appello dell'esame c'era una funzione tipo questa. Per i limiti e le derivate i miei calcoli erano giusti come ho verificato dopo. Non riuscivo però a calcolare il segno e l'intersezione con gli assi e quindi a disegnare adeguatamente la funzione.
Eccolo là, il tipico problema del "Mamma mia e mò?" da compito d'esame. Ma ve lo insegnano che le uniche cose necessarie per studiare una funzione sono !) dominio, 2) limiti, 3) derivate? In base a queste si capisce anche come varia il segno e dove si trovano (approssimativamente) le intersezioni con gli assi. Tutto il resto è una perdita di tempo che vi allontana dalla "vittoria" (leggi: svolgere il maggior numero di esercizi per ottenere un punteggio maggiore o uguale a 18).
"ciampax":
Eccolo là, il tipico problema del "Mamma mia e mò?" da compito d'esame. Ma ve lo insegnano che le uniche cose necessarie per studiare una funzione sono !) dominio, 2) limiti, 3) derivate? In base a queste si capisce anche come varia il segno e dove si trovano (approssimativamente) le intersezioni con gli assi. Tutto il resto è una perdita di tempo che vi allontana dalla "vittoria" (leggi: svolgere il maggior numero di esercizi per ottenere un punteggio maggiore o uguale a 18).
Effettivamente ci hai preso in pieno. Però tu capisci che per uno che nella vita ha l'aspirazione di fare l'informatico dello studio di funzione gliene interessa ben poco
.Però vorrei comunque capire come svolgere la disequazione per essere più preparato.
Il metodo che ti consigliava gugo è quello di scrivere
[tex]$\log\left(\frac{x}{x-1}\right)=-x$[/tex]
tracciare i grafici delle due funzioni e verificare, graficamente, dove si incontrano (ma quello che otterrai sarà comunque una soluzione approssimata. Quello che suggerivo io invece è usare il Teorema di esistenza degli zeri con la derivata... però è un po' lunghetto da spiegare e ora non ho molto tempo.
[tex]$\log\left(\frac{x}{x-1}\right)=-x$[/tex]
tracciare i grafici delle due funzioni e verificare, graficamente, dove si incontrano (ma quello che otterrai sarà comunque una soluzione approssimata. Quello che suggerivo io invece è usare il Teorema di esistenza degli zeri con la derivata... però è un po' lunghetto da spiegare e ora non ho molto tempo.
Ma quindi la disequazione non si può risolvere applicando semplificazioni e proprietà dei logaritmi e degli esponenziali?
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