Disequazioni irrazionali con valore assoluto

[Berker]

Ciao a tutti, qualcuno potrebbe delucidarmi sul procedimento con il quale si deve risolvere una disequazione di questo tipo?
$x \sqrt{x^2 -3} \leq |x|$

[pilloeffe]

Ciao Berker,

Benvenuto su forum!

Tieni presente che si ha:

$ |x| := {(x text{ se } x \ge 0),(- x text{ se } x < 0):} $

[Berker]

Esatto, ma nel caso in cui $x<0$ ho che $x^4 -3x^2 \leq x^2$.

La soluzione di questa disequazioni è $-2 \leq x \leq 2$, che intersecata con la condizione $x< - \sqrt{3}$ porta alla conclusione $-2 \leq x \leq -\sqrt{3}$.

Questa conclusione non è vera se si guarda il grafico (infatti $x\sqrt{x^2 -3}$ è sempre negativa (per x<0) mentre $|x|$ è sempre positiva.

Cos'è che mi sta fuggendo?

[pilloeffe]

"Berker":Cos'è che mi sta fuggendo?

Le condizioni di esistenza del radicale?
Per $x > 0 $ mi risulta $sqrt{3} \le x \le 2 $; poi non mi torna neanche la tua soluzione per $x < 0 $, che mi risulta $ x \le - sqrt{3} $...

[Berker]

Si io ho considerato solamente il caso in cui $x<0$ (che è quello che ci crea problemi).

Come mai ti risulta solamente $x< -\sqrt{3}$?

[pilloeffe]

Perché per $x < 0 $ la disequazione diventa la seguente:

$x sqrt{x^2 - 3} \le - x $

Dividendo per $x$, che è negativo, si ha:

$ sqrt{x^2 - 3} \ge - 1 $

Essendo la radice quadrata sempre positiva, per risolvere tale disequazione è sufficiente prendere le $x $ negative del dominio di esistenza della radice quadrata, cioè proprio $ x \le - sqrt{3} $.

[Berker]

Ahh, il mio errore stava Nell'elevare al quadrato senza semplificare prima!

Grazie