Dis(equazioni) di grado superiore al primo in due variabili

[aspree]

Ciao a tutti vorrei chiedervi un aiuto su un dubbio che mi è sorto.

Inizio con la prima domanda poi, solo se mi confermate che è corretta, per non appesantire troppo il primo messaggio passo al secondo dubbio correlato.

Mi chiedevo, per risolvere $y^2=x^2$ perché escono due rette incidenti?
Ho provato a risponedmi così, ma non so se sia coretto: in pratica esce dal fatto che quanto sopra posso riscriverla come $sqrt(y^2)=sqrt(x^2)$ e portando fuori dal segno di radice, si hanno i 4 casi
•y=x se y>0 e x>0
•-y=-x se y<0 e x<0
che sarebbe la parte di grafico con la V rivolta in alto
•y=-x se y>0 e x<0
•-y=x se y<0 e x>0
Identicamente a prima con la V rivolta verso il basso
Da cui riassumendo: y=x e y=-x

E' corretto quanto ho scritto? O sono una marea di stupidaggini?
Vi ringrazio moltissimo per i chiarimenti.

[Fioravante Patrone1]

Ciao,
sinceramente non mi sono soffermato a leggere nei dettagli quello che hai fatto, perché trovo che sia una strada inutilmente complicata.

$y^2 = x^2 \iff y^2-x^2=0 \iff (y-x)(y+x)=0 \iff [y=x \text{ vel } y=-x]$
sfruttando semplicemente una fattorizzazione e la legge di annullamento del prodotto

[aspree]

Grazie mille per la replica,
mi sarebbe incuriosito sapere se fosse giusto quanto dicevo più che altro perché non si tratta di un esercizio in sé (non mi interessa la soluzione quanto la logica) proprio per capire capire se fosse una strada percorribile in situazioni più complesse.

Grazie per l'aiuto e il dempo dedicatomi

[gugo82]

Quando è che due numeri hanno lo stesso quadrato?
Beh, quando sono uguali oppure quando sono opposti... Ovverosia, quando hanno lo stesso valore assoluto.

P.S.: Chiaro che distinguere i casi porta alla soluzione, però è di gran lunga una perdita di tempo in questo caso.

[Indrjo Dedej]

La via proposta da Fioravante Patrone è semplice ed elegante.

[aspree]

No ma infatti apprezzo moltissimo quella via che sinceramente non avevo visto.
Diciamo che sto cercando di fare pratica in vista all'iscrizione a matematica l'anno prossimo e la mia provenienza classicista, insomma preferisco aprirmi un po' la mente cercando di carpire quante più informazioni possibile. Vi ringrazio per il supporto (ero già usufruitore in pasivo del vostro servizio in effetti)


Volevo chiedere un'ultima cosa, e poi capirete perché della mia domanda iniziale, il cuore del discorso è questo:

Sapendo che $sqrtx^2=|x|$ e identicamente $sqrty^2=|y|$, mi chiedevo, quando ho: $y^2>x^2$ sicuramente vale anche $sqrt(y^2)>sqrt(x^2)$ da cui so bene essere $|y|>|x|$ quindi l'insieme del piano limitato da V sopra e sotto (e lo vedo benissimo)
ma ragionando come prima e scomponendo e qui il dubbio che vorrei sottoporvi:
•y>x se y>0 e x>0
•-y>-x se y<0 e x<0 cioè y •y>-x se y>0 e x<0
•-y>x se y<0 e x>0 cioè y<-x
E mi ritrovo con un assurdo y>x, y-x,y<-x

Se aveste ancora voglia di dedicarmi del tempo e farmi capire dove sbaglio, vi ringrazierei ancora moltissimo.

[Indrjo Dedej]

Bhé, io frequento uno scientifico e ti dico che non c'è bisogno di riempirsi la testa di tante cose. La mia prof di mate del biennio diceva sempre che la legge dell'annullamento del prodotto è una legge d'oro da stampare nella mente e di cercare di usarla non dico sempre, ma quasi.

Io controllerei un'attimo. Forse non sai scrivere in LaTeX, ma penso volessi dire: $\sqrt{x^2}=|x|$, con l'esponente 2 sotto radice.

\sqrt{x^2}=|x|

Fai un po' di ragionamenti in cui rischi di incartarti. Di solito si fa un pochino di logica in prima per quanto riguarda i connettivi... Ti do un input:
$y^2>x^2 \Leftrightarrow y^2-x^2=(y+x)(y-x)>0$.
Impara a leggere quello che scrivi, è importante. Quando il prodotto di due numeri (in questo caso $y+x$ e $y-x$) è positivo? Quando sono concordi. Cosa significa concordi? Rispondi e prova a risolvere.

[aspree]

Sì, sono un neofita del latex, volevo scrivere quanto hai detto tu, ovviamente. In una l'ho azzeccata:D il quadrato è sotto radice.
Però il dubbio nel ragionamento mi rimane

Volevo chiedere un'ultima cosa, e poi capirete perché della mia domanda iniziale, il cuore del discorso è questo:

Sapendo che $sqrt(x^2)=|x|$ e identicamente $sqrt(y^2)=|y|$, mi chiedevo, quando ho: $y^2>x^2$ sicuramente vale anche $sqrt(y^2)>sqrt(x^2)$ da cui so bene essere $|y|>|x|$ quindi l'insieme del piano limitato da V sopra e sotto (e lo vedo benissimo)
ma ragionando come prima e scomponendo e qui il dubbio che vorrei sottoporvi:
•y>x se y>0 e x>0
•-y>-x se y<0 e x<0 cioè y •y>-x se y>0 e x<0
•-y>x se y<0 e x>0 cioè y<-x
E mi ritrovo con un assurdo y>x, y-x,y<-x

Se aveste ancora voglia di dedicarmi del tempo e farmi capire dove sbaglio, vi ringrazierei ancora moltissimo.

[@melia]

Riprendo il tuo ragionamento, sottolineando le aree in cui le varie disequazioni hanno significato.

•y>x se y>0 e x>0 cioè nel primo quadrante
•-y>-x se y<0 e x<0 cioè ynel terzo quadrante
•y>-x se y>0 e x<0 nel secondo quadrante
•-y>x se y<0 e x>0 cioè y<-x nel quarto quadrante
Quindi, a seconda del quadrante che stai considerando ti troverai con disuguaglianze diverse, che non creano nessun assurdo in quanto sono limitate al quadrante di definizione.

[aspree]

Sei stata gentilissima, non so perché ma non riuscivo a vederlo da solo, certe volte mi perdo proprio in cose stupide!
Davvero mille grazie a te in particolare, e a tutti per la gentilezza