Disequazioni con valore assoluto
Salve, non riesco a risolvere alcune disequazioni. Ecco qui le incriminate:
1) $ |x-3|<2|x| $
2) $ ||x|+sqrt(x-1)|<=2 $
3) $ |x|x-1|+1|>=2 $
4) $ |x(x-3)| > x^2 - 1 $
Come ho iniziato, o meglio provato, a risolverle:
1) Ho distinto tre casi, ovvero $x<0$,$x>3$ e $0<=x<=3$ ottendo rispettivamente le seguenti disequazioni:
$-x+3<-2x$
$x+3<0$
$x<-3$
$x-3<2x$
$-x-3<0$
$x+3>0$
$x> -3$
$-x+3<2x$
$-3x+3<0$
$3x-3>0$
$x>1$
Riunendo nel grafo finale la soluzione che ottengo sarebbe $x<1$, ma non è corretto. Dove ho sbagliato?
2) Come sopra considero 3 casi, $x>0$, $x<1$ e $0<=x<=1$. Credo però di aver sbagliato le condizioni, in particolare la seconda, in quanto ottengo rispettivamente
$(-1 +- sqrt(21))/2$
$forall x in mathcal()R$
$(1 +- sqrt()13)/2$
Per adesso mi fermo qui, poi quando ho risolto questi due continuo con gli altri 2. Spero di ricevere un aiuto...grazie per chi lo farà!
1) $ |x-3|<2|x| $
2) $ ||x|+sqrt(x-1)|<=2 $
3) $ |x|x-1|+1|>=2 $
4) $ |x(x-3)| > x^2 - 1 $
Come ho iniziato, o meglio provato, a risolverle:
1) Ho distinto tre casi, ovvero $x<0$,$x>3$ e $0<=x<=3$ ottendo rispettivamente le seguenti disequazioni:
$-x+3<-2x$
$x+3<0$
$x<-3$
$x-3<2x$
$-x-3<0$
$x+3>0$
$x> -3$
$-x+3<2x$
$-3x+3<0$
$3x-3>0$
$x>1$
Riunendo nel grafo finale la soluzione che ottengo sarebbe $x<1$, ma non è corretto. Dove ho sbagliato?
2) Come sopra considero 3 casi, $x>0$, $x<1$ e $0<=x<=1$. Credo però di aver sbagliato le condizioni, in particolare la seconda, in quanto ottengo rispettivamente
$(-1 +- sqrt(21))/2$
$forall x in mathcal()R$
$(1 +- sqrt()13)/2$
Per adesso mi fermo qui, poi quando ho risolto questi due continuo con gli altri 2. Spero di ricevere un aiuto...grazie per chi lo farà!
Risposte
"anonymous_9a70ee":
1) Ho distinto tre casi, ovvero $x<0$,$x>3$ e $0<=x<=3$ ottendo rispettivamente le seguenti disequazioni:
$-x+3<-2x$
$x+3<0$
$x<-3$
$x-3<2x$
$-x-3<0$
$x+3>0$
$x>-3$
$-x+3<2x$
$-3x+3<0$
$3x-3>0$
$x>1$
Riunendo nel grafo finale la soluzione che ottengo sarebbe $x<1$, ma non è corretto. Dove ho sbagliato?
i 3 casi a me sembrano giusti però hai sbagliato a trovare la soluzione finale, ogni "pezzo" di soluzione è valido solo nel suo intervallo di valori quindi dovrebbe venire $x<-3 U x>1$
Grazie per la risposta. Forse credo di aver capito. Il risultato è proprio quello, infatti credo di non aver considerato l'esistenza. Quindi, per il primo caso, se $x<0$ ho $x<-3$, quindi avrei
-3 1
+ | - | -
Il secondo caso invece è $x>3$, quindi ho che $x> -3$, ma da -3 a 3 non esiste, perchè il suo insieme di definizione sarebbe da 3 a $+infty$, quindi:
-3 1
- | - | -
Giusto? Poi per l'ultima ho che $x>1$ e unendo ottengo $x<-3 u x>1$. E' corretto quello che ho detto?
-3 1
+ | - | -
Il secondo caso invece è $x>3$, quindi ho che $x> -3$, ma da -3 a 3 non esiste, perchè il suo insieme di definizione sarebbe da 3 a $+infty$, quindi:
-3 1
- | - | -
Giusto? Poi per l'ultima ho che $x>1$ e unendo ottengo $x<-3 u x>1$. E' corretto quello che ho detto?
è molto semplice, quando vai a scrivere il grafico devi avere una sola linea, ma formata da tre pezzi, divisi da 0 e 3.
Andrai a ragionare così.
Quando x è minore di 0 cosa succede? (1soluzione) succede che x<-3 perciò segno -3 sul grafico, tiro una linea verticale, scrivo una linea continua a sinistra e una tratteggiata a destra FINO A 0.
detto questo passo al secondo intervallo, cioè $0<=x<=3$ (terza soluzione da te trovata). Ragiono sempre nello stesso modo:
Quando x è compreso tra 0 e 3 cosa succede? succede che x è maggiore di 1. Perciò scrivo 1, tiro una linea verticale, tratteggio a sinistra (fino ad incontrare il tratteggio che ho fatto prima) e tiro una linea continua a destra FINO A 3.
Ultimo controllo quando x è maggiore di 3 cosa succede, succede che x deve essere maggiore di -3. Ora, ovviamente -3 è fuori dall'intervallo che sto guardando, perciò immagino di tirare una linea continua da -3 in poi, quando supero il 3 allora la posso scrivere.
Leggi la soluzione ora del grafico e vedrai che ti viene giusta(prestando attenzione al punto 3 che è compreso nel secondo intervallo e non escluso).
Andrai a ragionare così.
Quando x è minore di 0 cosa succede? (1soluzione) succede che x<-3 perciò segno -3 sul grafico, tiro una linea verticale, scrivo una linea continua a sinistra e una tratteggiata a destra FINO A 0.
detto questo passo al secondo intervallo, cioè $0<=x<=3$ (terza soluzione da te trovata). Ragiono sempre nello stesso modo:
Quando x è compreso tra 0 e 3 cosa succede? succede che x è maggiore di 1. Perciò scrivo 1, tiro una linea verticale, tratteggio a sinistra (fino ad incontrare il tratteggio che ho fatto prima) e tiro una linea continua a destra FINO A 3.
Ultimo controllo quando x è maggiore di 3 cosa succede, succede che x deve essere maggiore di -3. Ora, ovviamente -3 è fuori dall'intervallo che sto guardando, perciò immagino di tirare una linea continua da -3 in poi, quando supero il 3 allora la posso scrivere.
Leggi la soluzione ora del grafico e vedrai che ti viene giusta(prestando attenzione al punto 3 che è compreso nel secondo intervallo e non escluso).
Guarda, non ti fidare troppo, però: la seconda, quella con il valore assoluto annidato -una schifezza:
mi sembra debba valere solo per le $x>=1$ -condizione d'esistenza della radice.
Quindi, quando si guarda $|x|$, il caso $x<0$ non esiste, mentre il caso $x>0$ rende $|x+(x-1)^(1/2)|$ una quantità sempre positiva. Si possono cancellare i valori assoluti e pensare alla disequazione "spoglia".
$(x-1)^(1/2) <= 2-x$.
Per le $x>2$, la diseguaglianza non ha senso: vorrebbe dirmi che la radice (quantità sempre positiva) "sta sotto" una quantità negativa: mai. Per le $x<=2$, elevo al quadrato e ottengo una "dis-equazione di secondo grado" (si dice?) che mi da un unico valore accettabile, cioé $((5-(5)^(1/2))/2)$, perché l'altra soluzione supera il valore di 2 (e se supero 2 la diseguaglianza non è più vera.)
Non ti fidare: fammi sapere cosa ne pensi. Ciao!
mi sembra debba valere solo per le $x>=1$ -condizione d'esistenza della radice.
Quindi, quando si guarda $|x|$, il caso $x<0$ non esiste, mentre il caso $x>0$ rende $|x+(x-1)^(1/2)|$ una quantità sempre positiva. Si possono cancellare i valori assoluti e pensare alla disequazione "spoglia".
$(x-1)^(1/2) <= 2-x$.
Per le $x>2$, la diseguaglianza non ha senso: vorrebbe dirmi che la radice (quantità sempre positiva) "sta sotto" una quantità negativa: mai. Per le $x<=2$, elevo al quadrato e ottengo una "dis-equazione di secondo grado" (si dice?) che mi da un unico valore accettabile, cioé $((5-(5)^(1/2))/2)$, perché l'altra soluzione supera il valore di 2 (e se supero 2 la diseguaglianza non è più vera.)
Non ti fidare: fammi sapere cosa ne pensi. Ciao!
è molto semplice, quando vai a scrivere il grafico devi avere una sola linea, ma formata da tre pezzi, divisi da 0 e 3.
Andrai a ragionare così.
Quando x è minore di 0 cosa succede? (1soluzione) succede che x<-3 perciò segno -3 sul grafico, tiro una linea verticale, scrivo una linea continua a sinistra e una tratteggiata a destra FINO A 0.
detto questo passo al secondo intervallo, cioè $0<=x<=3$ (terza soluzione da te trovata). Ragiono sempre nello stesso modo:
Quando x è compreso tra 0 e 3 cosa succede? succede che x è maggiore di 1. Perciò scrivo 1, tiro una linea verticale, tratteggio a sinistra (fino ad incontrare il tratteggio che ho fatto prima) e tiro una linea continua a destra FINO A 3.
Ultimo controllo quando x è maggiore di 3 cosa succede, succede che x deve essere maggiore di -3. Ora, ovviamente -3 è fuori dall'intervallo che sto guardando, perciò immagino di tirare una linea continua da -3 in poi, quando supero il 3 allora la posso scrivere.
Leggi la soluzione ora del grafico e vedrai che ti viene giusta(prestando attenzione al punto 3 che è compreso nel secondo intervallo e non escluso).
Mhhh, si, l'ho riletta diverse volte, ed ho capito...cioè, praticamente, la seconda soluzione esiste solo a partire da 3 perchè da -3 a $3^-$ non esiste per la condizione specificata?
"giuscri":
Guarda, non ti fidare troppo, però: la seconda, quella con il valore assoluto annidato -una schifezza:
mi sembra debba valere solo per le $x>=1$ -condizione d'esistenza della radice.
Quindi, quando si guarda $|x|$, il caso $x<0$ non esiste, mentre il caso $x>0$ rende $|x+(x-1)^(1/2)|$ una quantità sempre positiva. Si possono cancellare i valori assoluti e pensare alla disequazione "spoglia".
$(x-1)^(1/2) <= 2-x$.
Per le $x>2$, la diseguaglianza non ha senso: vorrebbe dirmi che la radice (quantità sempre positiva) "sta sotto" una quantità negativa: mai. Per le $x<=2$, elevo al quadrato e ottengo una "dis-equazione di secondo grado" (si dice?) che mi da un unico valore accettabile, cioé $((5-(5)^(1/2))/2)$, perché l'altra soluzione supera il valore di 2 (e se supero 2 la diseguaglianza non è più vera.)
Non ti fidare: fammi sapere cosa ne pensi. Ciao!
Tra un attimo guardo e ti faccio sapere
Grazie!EDIT: Al massimo, non dovrebbere essere $x < 1$ e $x > 1$?
Mhn. Non credo! Appena scendi sotto 1, sei fuori dal campo d'esistenza. No?
"giuscri":
Mhn. Non credo! Appena scendi sotto 1, sei fuori dal campo d'esistenza. No?
si, quindi per $x<1$ non esiste, ma per $x>1$ esiste e devo risolvere $x + sqrt(x-1) - 2 <= 0$. Sbaglio?
Credo di sì. E poi, se dovessi farla io, andrei avanti come ho scritto sopra. 
Le ho corrette
Ho distinto tre casi, ovvero $x<0$,$x>3$ e $0<=x<=3$ ottendo rispettivamente le seguenti disequazioni:
$-x+3<-2x$
$x+3<0$
$x<-3$
$3-x<2x$
$3<3x$
$x>1$
$1
$x-3<2x$
$x>3$
Quindi $x \in (-oo,-3) \uu(1,+oo)$
Per la seconda $||x|+\sqrt(x-1)| \le 2$
notiamo che nel primo modulo ci sono solo termini positivi, quindi il modulo non ha effetti e lo togliamo:
$|x|+\sqrt(x-1) \le 2$
quindi per l'esistenza della radice, anche $x \ge 1$, quindi anche l'altro modulo è inutile.
$x+\sqrt(x-1) \le 2$
eccetera...
Ho distinto tre casi, ovvero $x<0$,$x>3$ e $0<=x<=3$ ottendo rispettivamente le seguenti disequazioni:
$-x+3<-2x$
$x+3<0$
$x<-3$
$3-x<2x$
$3<3x$
$x>1$
$1
$x-3<2x$
$x>3$
Quindi $x \in (-oo,-3) \uu(1,+oo)$
Per la seconda $||x|+\sqrt(x-1)| \le 2$
notiamo che nel primo modulo ci sono solo termini positivi, quindi il modulo non ha effetti e lo togliamo:
$|x|+\sqrt(x-1) \le 2$
quindi per l'esistenza della radice, anche $x \ge 1$, quindi anche l'altro modulo è inutile.
$x+\sqrt(x-1) \le 2$
eccetera...
Ok, la prima ho capito le condizioni, quindi il risultato è $x < -3 u x > 1$, mentre la seconda si facile, non ci avevo pensato che la radice deve essere sempre positiva e che di conseguenza i moduli dovevo considerarli entrambi positivi. Ottimo, passo al terzo esercizio...mi sono un attimo...bloccato 
$|x|x-1|+1| >= 2$
Allora, prima di tutto ho considerato $x > 1$, quindi considero i moduli positivi (il secondo modulo è sempre positivo per ogni x) e alla fine ottengo $x >= (1 + sqrt(5)) / 2$.
Quando considero $x < 1$ mi trovo nel caos! Ottengo $|-x^2 +x +1| -2 <=0$. Come devo porre le condizioni? Sempre allo stesso modo? Ho provato a ipotizzare la cosa seguente. Considero positivo il secondo modulo, tale che, alla fine, nel sistema ho le seguenti condizioni:
$x<1$
$(1-sqrt(5))/2
Quindi, posso dire che non considero il primo sistema in quanto, nell'itersezione, non ho una soluzione? Passando al secondo invece ottengo che:
$x<1$
$x < (1-sqrt(5))/2 u x > (1+sqrt(5))/2$
$x <= (-1-sqrt(13))/2 u x => (-1+sqrt(13))/2$
Con soluzione pari a $x < (-1-sqrt(13))/2$ e soluzione della disequazione iniziale pari a:
$x <= (-1-sqrt(13))/2 u x >= (1 + sqrt(5)) / 2$
?
$|x|x-1|+1| >= 2$
Allora, prima di tutto ho considerato $x > 1$, quindi considero i moduli positivi (il secondo modulo è sempre positivo per ogni x) e alla fine ottengo $x >= (1 + sqrt(5)) / 2$.
Quando considero $x < 1$ mi trovo nel caos! Ottengo $|-x^2 +x +1| -2 <=0$. Come devo porre le condizioni? Sempre allo stesso modo? Ho provato a ipotizzare la cosa seguente. Considero positivo il secondo modulo, tale che, alla fine, nel sistema ho le seguenti condizioni:
$x<1$
$(1-sqrt(5))/2
Quindi, posso dire che non considero il primo sistema in quanto, nell'itersezione, non ho una soluzione? Passando al secondo invece ottengo che:
$x<1$
$x < (1-sqrt(5))/2 u x > (1+sqrt(5))/2$
$x <= (-1-sqrt(13))/2 u x => (-1+sqrt(13))/2$
Con soluzione pari a $x < (-1-sqrt(13))/2$ e soluzione della disequazione iniziale pari a:
$x <= (-1-sqrt(13))/2 u x >= (1 + sqrt(5)) / 2$
?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo