Disequazioni con numeri complessi

[gicif]

Ciao a tutti.
Desidero chiedere uno spunto per la risoluzione dei seguenti due esercizi con i numeri complessi: si tratta di disegnare nel piano di Gauss la regione descritta da

|(1+z)/(1-z)| < 1 per il primo esercizio, e da

|z-2| < |z-k+2i|, 0
Grazie a chiunque potrà aiutarmi.
Giuseppe

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by gicif

[...] si tratta di disegnare nel piano di Gauss la regione descritta da |(1+z)/(1-z)| < 1 [...]

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Poniamo z = x + iy, con x, y \in R. Assunto z \neq 1, risulta allora: |(1+z)/(1-z)| < 1 <==> |1+z| < |1-z| <==> (x+1)^2 + y^2 < (x-1)^2 + y^2 <==> x < 0. Le soluzioni della disequazione proposta sono dunque rappresentate da tutti e soli i punti del piano di Gauss appartenenti al semipiano di equazione Re(z) < 0 (per intenderci, quello a sinistra dell'asse verticale).

Saluti,
Salvatore Tringali

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by gicif

[...] si tratta di disegnare nel piano di Gauss la regione descritta da |z-2| < |z-k+2i|, 0

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Come nel precedente, poniamo z = x + iy, con x, y \in R. E allora |z-2| < |z-k+2i| <==> (x-2)^2 + y^2 < (x-k)^2 + (y+2)^2 ==> x^2 - 4x + 4 + y^2 < x^2 - 2kx + k^2 + y^2 + 4y + 4 <==> 2(2-k)x + 4y + k^2 > 0. La disequazione proposta rappresenta pertanto, sul piano di Gauss, tutti e soli i punti che stanno al di sopra della generica retta del fascio di equazione y = -(1-k/2)x + (k/2)^2. In particolare, osservando che ogni retta del fascio ha coefficiente angolare -1 <= m <= 0, e che -(1-k/2) + (k/2)^2 > 1, se 0 < k < 2, ne viene che, qualunque sia il valore del parametro nel range indicato, il semipiano S_k individuato dalla disequazione y > -(1-k/2)x + (k/2)^2 è comunque contenuto nell'unione dei semipiani superiori S_0 ed S_2 delimitati, rispettivamente, dalle semirette y = -x, per x >= -1 ed y = 1, per x < -1.

Saluti,
Salvatore Tringali

[gicif]

Tutto chiaro.
Ti ringrazio molto per il prezioso aiuto.
Giuseppe