Disequazioni con funzione parte intera
Sul mio libro di testo c'è un esercizio che chiede data la definizione di \(\displaystyle e := \lim_{n\to+\infty} (1 + \frac{1}{n})^n \) con \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) di dimostrare che anche \(\displaystyle \lim_{{a_n}\to+\infty} (1 + \frac{1}{a_n})^{a_n} \) con \(\displaystyle a_n \in \mathbb{R} \) converge a \(\displaystyle e \).
Per farlo chiede di dimostrare la seguente diseguaglianza:
\(\displaystyle \ (1 + \frac{1}{\lfloor{a_n}\rfloor + 1})^{\lfloor a_n \rfloor } \le (1 + \frac{1}{a_n})^{a_n} \le (1 + \frac{1}{\lfloor{a_n}\rfloor})^{\lfloor{a_n}\rfloor + 1} \).
Ho verificato che entrambi gli estremi della diseguaglianza convergono ad \(\displaystyle e \), quindi assumendo la diseguaglianza come vera, applicando il teorema del confronto, ho dimostrato che anche la sequenza con \(\displaystyle a_n \) converge ad \(\displaystyle e \).
Il problema ora è che non so come dimostare che la diseguaglianza è valida, non so come trattare la funzione parte intera in una disequazione.
Per la prima parte della diseguaglianza forse ho già avuto un'idea anche se non proprio rigorosa, ma per verificare la seconda parte non so proprio da che parte iniziare.
Voi come procedereste?
Grazie.
Per farlo chiede di dimostrare la seguente diseguaglianza:
\(\displaystyle \ (1 + \frac{1}{\lfloor{a_n}\rfloor + 1})^{\lfloor a_n \rfloor } \le (1 + \frac{1}{a_n})^{a_n} \le (1 + \frac{1}{\lfloor{a_n}\rfloor})^{\lfloor{a_n}\rfloor + 1} \).
Ho verificato che entrambi gli estremi della diseguaglianza convergono ad \(\displaystyle e \), quindi assumendo la diseguaglianza come vera, applicando il teorema del confronto, ho dimostrato che anche la sequenza con \(\displaystyle a_n \) converge ad \(\displaystyle e \).
Il problema ora è che non so come dimostare che la diseguaglianza è valida, non so come trattare la funzione parte intera in una disequazione.
Per la prima parte della diseguaglianza forse ho già avuto un'idea anche se non proprio rigorosa, ma per verificare la seconda parte non so proprio da che parte iniziare.
Voi come procedereste?
Grazie.
Risposte
Forse ho trovato la risposta assumendo \(\displaystyle a_n > 1 \), sappiamo che \(\displaystyle \lfloor{a_n}\rfloor + 1 > a_n \).
Quindi riscriviamo \(\displaystyle (1 + \frac1{a_n})^{a_n + 1}=[(1 + \frac{1}{a_n})^{\frac{a_n+1}{\lfloor{a_n}\rfloor}}]^{a_n} \)
Applicando la disuguaglianza di bernoulli, sappiamo che:
\(\displaystyle [(1 + \frac{1}{a_n})^{\frac{a_n+1}{\lfloor{a_n}\rfloor}}]^{a_n} \ge (1 + \frac{\lfloor{a_n}\rfloor + 1}{\lfloor{a_n}\rfloor a_n})^{a_n}\)
e \(\displaystyle (1 + \frac{\lfloor{a_n}\rfloor + 1}{\lfloor{a_n}\rfloor a_n})^{a_n} \ge (1 + \frac{1}{a_n})^{a_n} \) se \(\displaystyle 1 + \frac{\lfloor{a_n}\rfloor + 1}{\lfloor{a_n}\rfloor a_n} \ge 1 + \frac{1}{a_n} \) e ciò si verifica facilmente.
Mentre per l'altra parte della diseguaglianza, dato che \(\displaystyle \lfloor{a_n}\rfloor \le {a_n} \), per \(\displaystyle a_n > 1 \) ho abolito l'esponente.
E mediante semplici calcoli algebrici ho verificato che \(\displaystyle 1 + \frac{1}{\lfloor{a_n}\rfloor + 1} \le 1 + \frac{1}{a_n} \)
Quindi riscriviamo \(\displaystyle (1 + \frac1{a_n})^{a_n + 1}=[(1 + \frac{1}{a_n})^{\frac{a_n+1}{\lfloor{a_n}\rfloor}}]^{a_n} \)
Applicando la disuguaglianza di bernoulli, sappiamo che:
\(\displaystyle [(1 + \frac{1}{a_n})^{\frac{a_n+1}{\lfloor{a_n}\rfloor}}]^{a_n} \ge (1 + \frac{\lfloor{a_n}\rfloor + 1}{\lfloor{a_n}\rfloor a_n})^{a_n}\)
e \(\displaystyle (1 + \frac{\lfloor{a_n}\rfloor + 1}{\lfloor{a_n}\rfloor a_n})^{a_n} \ge (1 + \frac{1}{a_n})^{a_n} \) se \(\displaystyle 1 + \frac{\lfloor{a_n}\rfloor + 1}{\lfloor{a_n}\rfloor a_n} \ge 1 + \frac{1}{a_n} \) e ciò si verifica facilmente.
Mentre per l'altra parte della diseguaglianza, dato che \(\displaystyle \lfloor{a_n}\rfloor \le {a_n} \), per \(\displaystyle a_n > 1 \) ho abolito l'esponente.
E mediante semplici calcoli algebrici ho verificato che \(\displaystyle 1 + \frac{1}{\lfloor{a_n}\rfloor + 1} \le 1 + \frac{1}{a_n} \)
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