Disequazioni con due casi, perchè?
Salve a tutti!
Vi scrivo perchè ho assolutamente bisogno del vostro aiuto! Mi sto prepareando per degli esami di analisi, e tutto funziona bene tranne una cosa. Le disequazioni. Sembrerà stupido, ma è così! In realtà io so svolgere le disequazioni senza problemi, ma ogni volta che le confronto con la risoluzione del professore c'è SEMPRE qualcosa che non torna. Perchè? Perchè lui svolge tutte le disequazioni dividendo la risoluzione in due casi, cosa che io non ho mai fatto neppure alle superiori e assolutamente non riesco a ritrovarmi! Dunque vi chiedo davvero un aiuto a capire il perchè effettua questa divisione. Vi faccio un esempio:
Questa è una disequazione abbastanza semplice. Io l'avrei risolta in questo modo:
1)Condizioni d'Esistenza
2)Risoluzione
Avrei risolto elevando alla seconda da entrambe le parti, per togliere la radice.
Dunque avrei ottenuto
e portando tutto a sinitra, e semplificando avrei ottenuto:
Dunque la mia soluzione finale, dopo aver controllato le condizioni d'esistenza sarebbe stata x>13!!!
Invece no! Secondo il professore la soluzione finale è:
Che praticamente è identica alle condizioni d'esistenza. Ma il reale problema che non capisco è come ci è arrivato!
Ecco come agisce lui:
1)Fa le condizioni d'esistenza che vengono uguali alle mie.
2)Suddivide la risoluzione in due casi!
Lui scrive:
Poi fa il secondo caso:
[II° CASO: "se x-13>=0 allora:"
$ { ( x<=0; x>=13 ),( x>=13 ):} $
e poi lo svolge esattamente come io ho svolto la mia soluzione ossia elevando a potenz e trovando che x>=13.[/quote]
Alla fine dice:
"a conclusione del tutto, mettendo insieme i due casi la soluzione è: x<=0 U x>=13".
Come mai? Davvero non riesco a capire. Grazie in anticipo ragazzi!!!
Vi scrivo perchè ho assolutamente bisogno del vostro aiuto! Mi sto prepareando per degli esami di analisi, e tutto funziona bene tranne una cosa. Le disequazioni. Sembrerà stupido, ma è così! In realtà io so svolgere le disequazioni senza problemi, ma ogni volta che le confronto con la risoluzione del professore c'è SEMPRE qualcosa che non torna. Perchè? Perchè lui svolge tutte le disequazioni dividendo la risoluzione in due casi, cosa che io non ho mai fatto neppure alle superiori e assolutamente non riesco a ritrovarmi! Dunque vi chiedo davvero un aiuto a capire il perchè effettua questa divisione. Vi faccio un esempio:
$ sqrt(x(x-13)) > x-13 $
Questa è una disequazione abbastanza semplice. Io l'avrei risolta in questo modo:
1)Condizioni d'Esistenza
$ x(x-13) geq 0 $ -> argomento radice >= a 0 e quindi:
$ x leq 0 ^^ x geq 13 $
2)Risoluzione
Avrei risolto elevando alla seconda da entrambe le parti, per togliere la radice.
Dunque avrei ottenuto
x(x-13) > x^2 + 169 - 26x
e portando tutto a sinitra, e semplificando avrei ottenuto:
x > 169/13 -> x>13
Dunque la mia soluzione finale, dopo aver controllato le condizioni d'esistenza sarebbe stata x>13!!!
Invece no! Secondo il professore la soluzione finale è:
$ x leq 0 ^^ x geq 13 $
Che praticamente è identica alle condizioni d'esistenza. Ma il reale problema che non capisco è come ci è arrivato!
Ecco come agisce lui:
1)Fa le condizioni d'esistenza che vengono uguali alle mie.
2)Suddivide la risoluzione in due casi!
Lui scrive:
I° CASO: "I caso: se x-13 < 0 la disequazione è soddisfatta nella regione in cui il radicale è definito. Si ha:
$ { ( x<=0; x>=13 ),( x<13 ):} $
Dunque la soluzione è:
x<=0 U x<=13
Poi fa il secondo caso:
[II° CASO: "se x-13>=0 allora:"
$ { ( x<=0; x>=13 ),( x>=13 ):} $
e poi lo svolge esattamente come io ho svolto la mia soluzione ossia elevando a potenz e trovando che x>=13.[/quote]
Alla fine dice:
"a conclusione del tutto, mettendo insieme i due casi la soluzione è: x<=0 U x>=13".
Come mai? Davvero non riesco a capire. Grazie in anticipo ragazzi!!!
Risposte
Quando io imparai a risolvere le disequazioni irrazionali, nel caso in cui sarebbe stato del tipo:
[tex]\sqrt{f(x)} > g(x)[/tex]
Si dovevano impostare i due sistemi, ovviamente c'è la spiegazione, alla quale ci arrivi se ci ragioni un attimino.
cit.: http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione_irrazionale
[tex]\sqrt{f(x)} > g(x)[/tex]
Si dovevano impostare i due sistemi, ovviamente c'è la spiegazione, alla quale ci arrivi se ci ragioni un attimino.
cit.: http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione_irrazionale
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta! Si è vero in quel caso hai ragione mi era sfuggito...
Però in generale accade anche in tutti gli altri tipi di disequazione. Ad esempio in questa fratta:
$ (x)^(2) - 9 // x - 6 leq 0 $
Io farei le condizioni d'esistenza tranquillamente, e poi studierei il fattore sopra, e il fattore sotto.
Solitamente li studio > o >= di 0, e poi con lo studio dei segni prendo la parte negativa visto che così è richiesto.
Il prof invece fa due sistemi.
Uno in cui studia Numeratore <= 0, e Denominatore > 0. E risulta che non ha mai soluzione.
Poi un'altro in cui fa l'opposto e gli esce una soluzione. x<= -3 U 3<=x<6
....!!!
Cioè non ho mai visto risolverle così...
Però in generale accade anche in tutti gli altri tipi di disequazione. Ad esempio in questa fratta:
$ (x)^(2) - 9 // x - 6 leq 0 $
Io farei le condizioni d'esistenza tranquillamente, e poi studierei il fattore sopra, e il fattore sotto.
Solitamente li studio > o >= di 0, e poi con lo studio dei segni prendo la parte negativa visto che così è richiesto.
Il prof invece fa due sistemi.
Uno in cui studia Numeratore <= 0, e Denominatore > 0. E risulta che non ha mai soluzione.
Poi un'altro in cui fa l'opposto e gli esce una soluzione. x<= -3 U 3<=x<6
....!!!
Cioè non ho mai visto risolverle così...
In questo caso, preferisco il tuo metodo, Isonz, ma non è errato quello del tuo insegnante anzi sono del tutto equivalenti.
Il tuo professore afferma che una funzione razionale fratta è positiva (risp. negativa) se e solo se numeratore e denominatore sono concordi (risp discordi), cioè hanno lo stesso segno (risp. segno opposto).
In pratica
[tex]$\frac{p(x)}{q(x)}>0\iff \begin{cases} p(x)>0 &\\ q(x)>0\end{cases}\bigcup \begin{cases} p(x)<0 &\\ q(x)<0\end{cases}[/tex]
mentre
[tex]$\frac{p(x)}{q(x)}<0\iff \begin{cases} p(x)>0 &\\ q(x)<0\end{cases}\bigcup \begin{cases} p(x)<0 &\\ q(x)>0\end{cases}[/tex]
Il tuo professore afferma che una funzione razionale fratta è positiva (risp. negativa) se e solo se numeratore e denominatore sono concordi (risp discordi), cioè hanno lo stesso segno (risp. segno opposto).
In pratica
[tex]$\frac{p(x)}{q(x)}>0\iff \begin{cases} p(x)>0 &\\ q(x)>0\end{cases}\bigcup \begin{cases} p(x)<0 &\\ q(x)<0\end{cases}[/tex]
mentre
[tex]$\frac{p(x)}{q(x)}<0\iff \begin{cases} p(x)>0 &\\ q(x)<0\end{cases}\bigcup \begin{cases} p(x)<0 &\\ q(x)>0\end{cases}[/tex]
Quella che proponi tu ora si fa con lo studio del segno di numeratore e denominatore, quindi si confronta col solito grafico, i segni, e se ne determinano le soluzioni, cioè quello che ha scritto in formule Mathematico.
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