Disequazioni

[Luck32]

nn riesco a risolvere questa disequazione...

log(2/x) [arcocos (x/ x-1)] < -1

(2/x) è la base del logartimo...

trovo difficoltà a rissolverlo perchè nn so come comportarmi quando anche la base è
incognita ...

grazie

[gugo82]

Tieni presente che la funzione $log_(f(x)) g(x)$ (con $f,g$ funzioni reali della variabile reale $x$) è definita solo per quei numeri $x in RR$ per cui, oltre alle opportune condizioni di esistenza di $f(x)$ e $g(x)$, sono soddisfatte le "condizioni aggiuntive" $g(x)>0, f(x)>0, f(x)!=1$: pertanto per determinare l'insieme di definizione $D$ di $log_(f(x)) g(x)$ devi risolvere il sistema:

$\{("condizioni per l'esistenza di " f(x)),("condizioni per l'esistenza di " g(x)),(g(x)>0),(f(x)>0),(f(x)!=1):} quad$.

[Nota bene che le "condizioni aggiuntive" discendono dal fatto che, valendo il Teorema del Cambiamento di Base nei Logaritmi, puoi scrivere:

$log_(f(x))g(x)=(log g(x))/(log f(x))$.]

Fatto ciò, se $D!=\emptyset$, le soluzioni di una disequazione del tipo:

$log_(f(x)) g(x)
sono tutti e soli gli $x in D$ che siano soluzione di uno dei due sistemi seguenti:

$\{(g(x)<[f(x)]^c),(f(x)>1):} quad$,

$\{(g(x)>[f(x)]^c),(f(x)<1):} quad$.

[Sk_Anonymous]

un altro metodo è quello di calcolarci dapprima il dominio della funzione come indicato da gugo

${(x/(x-1)<=1),(x/(x-1)>=-1),(2/x>0),(2/x!=1):}
che ha soluzione $domf=(0,1/2)

dopodichè, si osserva che

$log_(2/x)arccos(x/(x-1))=(ln(arccos(x/(x-1))))/(ln(2/x))<-1 rArr ln(arccos(x/(x-1)))<-ln(2/x)=ln(x/2)$ essendo il termine $ln(2/x)$ sempre positiva nell'intervallo considerato

così facendo si giunge alla relazione finale $cos(x/2)>x/(x-1)$ che ha come soluzione tutto l'intervallo $domf