Disequazione/i

[*Salvo*115]

..dire che si impara solo dall'educazione con cui vi porgete è dire troppo poco, ma per i complimenti ci sarà tempo.
Vado al dunque, pero' vi premetto che prima di postare ci ho pensato, ripensato e strapensato..ma poi ho pensato che male che vada..beh, continuero' a leggervi, come ho fatto fino ad oggi evitando cosi' di mettere in rilievo il mio grado di preparazione matematica che è pari allo zero tagliato, purtroppo, ma ci voglio provare .

L'argomento è la disequazione, eccola:

$|2(x-1)|-1/2 > 1$


Potete ridere..ma mi servirebbe che un'anima santa, armata di pazienza infinita, senza crasi nè nessuna operazione scontata mi faccia capire come svolgerla.
Grazie mille

P.s. ne segiuranno altri di "quesiti"...quindi vi conviene ignorarmi

[*pizzaf40]

Vai tranquilloche sono un perdigiorno della malora, quindi troverò più volentieri il tempo di aiutarti che quello di studiare per me Però fai attenzione a tutto quello che ti dico che cerco di spiegartelo nella maniera più chiara e facile...segui bene ogni singolo passaggio e ragionamento!!
Sul fatto dell'"un mezzo, o uno fratto due" ti assicuro che sono la stessa cosa ...cmq basta mettere la barra / tra 1 e 2 ottendo:

$1/2$

Quindi la disequazione era:


$|2(x+1)|-1/2>1$


e quindi:


$|2(x+1)|-3/2>0$


fin quì credo tu non abbia problemi
Ora, per capire bene la siuazione prendi un foglio, fatti gli assi $x$ e $y$ e disegna la retta $y=2x+2=2(x+1)$ che è quella che sta dentro il valore assoluto (in caso disegnala per punti, cioè metti più valori di $x$ e ricava le $y$ corrispondenti...unisci i punti...l'importante è che tu sia preciso, e che il disegno venga fatto bene e proporzionato).
Adesso riscriviamo così:


$|2(x+1)|=3/2$


cioè spostando il $3/2$ dall'altra parte e mettendo = anziche >
Il valore assoluto è quello che trasforma tutto in positivo...cioè $|45|=45$ ma $|-45|=45$
La retta che hai disegnato assume dei valori negativi $y<0$. Questa parte negativa è tutta quella in cui la retta stà sotto l'asse delle $x$ (cioè alla sinistra del punto $(-1,0)$)...se non ci credi prova a sostituire le $x$ corrispondenti, cioè $x<-1$!!
Quindi se quella retta è in valore assoluto, significa che questa non cambia per i valori positivi, cioè:


$|y|=|2x+2|=2x+2$ ----> per $x> -1$


ma cambia per i valori negativi, cioè:


$|y|=|2x+2|=-(2x+2)=-2x-2$ ----> per $x<-1$


Questo significa che se prendi:


$x=-1$--->$|y|=|0|=0$
$x=-2$--->$|y|=|-2|=2$
$x=-3$--->$|y|=|-4|=4$


Disegnati anche questo pezzo di retta, e non potrai fare a meno di notare che è uguale a quello di valore negativo, ma simmetrico rispetto all'asse delle $x$!!!!!!! Il senso del valore assoluto è proprio questo...prendi tutta la parte negativa della funzione, la copi simmetrica sopra se stessa e ottieni la funzione $y=|2(x+1)|$

La disequazione era $|2(x+1)|=3/2$...la parte di sinistra ora la conosci! La parte, alla stessa maniera, è $y=3/2$ (questo senza valore assoluto)...disegnala, e vedrai che è una linea orizzontale (parallela all'asse delle $x$) che passa per il punto $y=3/2$! Questo perchè è una funzione che non dipende da $x$, cioè qualunque valore di $x$ tu gli dia, otterrai sempre $y=3/2$, mentre prima se cambiavi la $x$ cambiava anche la $y$.

Ora guarda sul foglio e vedi che $y=|2(x+1)|$ e $y=3/2$ si incrociano in due punti. Se la prima funzione fosse senza valore assoluto, si incrocerebbero in un punto solo!! Questo deve essere chiaro, perchè da questo dipende tutto!!!! Quindi non andare avanti a leggere finchè non sei sicuro di tutto quello che ti ho detto fino adesso...

[*pizzaf40]

Ok, se sei arrivato quà ed hai capito tutto, è praticamente fatta!!!
Risolvi quella con = e senza valore assoluto:


$2(x+1)=3/2$


ottieni:


$2x+2=3/2$<---->$2x=3/2-2$<---->$x=(-1/2)/2$<---->$x=-1/4$


Se hai fatto il disegno bene, parti sulla retta delle $x$ con valore $-1/4$, vai su in verticale, e troverai il punto in cui le due rette s'incontrano!! Cioè tu hai fatto:


$y=2(x+1)$
---------------------------------> $y=y$ quindi $2(x+1)=3/2$
$y=3/2$


cioè hai imposto che le 2 funzioni avessero lo stesso risultato...quindi hai trovato l'unico punto in cui questo succede!!! Infatti se sostituisci $x=-1/4$ in entrambe le funzioni, otterrai $y=3/2$

Ok, ora cambiamo e risolviamo:


$2(x+1)>3/2$


e ottieni:


$2x+2>3/2$<---->$2x> -1/2$<---->$x> -1/4$


cioè come prima, ma col >! Ora guarda la disequaz di partenza...hai imposto che la retta diagonale assuma valori maggiori della retta orizzontale...guarda il disegno e ti accorgerai che questo succede solo nella zona in cui $x> -1/4$...cioè alla destra del punto che hai trovato prima!!!! Quindi con la disequazione non trovi un punto (d'intersezione in particolare) ma una intera zona del piano in cui succede quello che si è imposto, cioè che una funzione sia maggiore dell'altra.

Ora risolviamo un'altro problema:


$|2(x+1)|=3/2$


cioè vogliamo trovare i punti di intersezione tra la retta orizzontale $y=3/2$ e i due pezzi di retta che sono $y=|2(x+1)|$. Ma qua ci sono 2 casi..il caso in cui il valore assoluto non serve a niente (funzione positiva) e quello in cui invece serve (funzione negativa)!! Dividi il problema in due e li risolvi entrambi:


per $x> -1$------------>$2(x+1)=3/2$---->$2x=-1/2$--->$x=-1/4$

per $x< -1$------------>$-2(x+1)=3/2$---->$-2x-2=3/2$---->$-2x=7/2$---->$x=-7/4$


e anche quì vedi che i valori della $x$ che abbiamo trovato indicano i 2 punti d'intersezione. Nota che nella seconda risoluzione abbiamo cambiato il segno alle prima funzione...questo perch in quella zona era negativa, ed essendo nel valore assoluto bisognava farla diventare positiva!! C'è l'uguale, quindi è un'equazione...abbiamo trovato i punti.

Ora l'ultima...la tua!! Questa sarà una disequazione...quindi ricordati che troveremo una zona di piano, non dei punti!!!


$|2(x+1)|>3/2$


Sappiamo che dobbiamo dividerla in due (sappiamo già che la prima varrà per $x> -1$ e l'altra per $x< -1$):


1)---->$2(x+1)>3/2$---->$2x+2>3/2$---->$2x> -1/2$---->$x> -1/4$

2)---->$-2(x+1)>3/2$---->$-2x-2>3/2$---->$-2x>7/2$---->$x< -7/4$


cioè (guarda sempre il disegno, così si capisce bene) hai trovato le zone di piano in cui la funzione $y=|2(x+1)|$ ha valori maggiori della funzione $y=3/2$...ed hai risolto il problema!!! Nota l'ultimo passagio della seconda soluzione...il > è diventato < , e questo succede perchè c'è stata una divisione!

Quando fai una divisione da entrambi i lati di una disequazione, questa non cambia segno se il numero per cui dividi è maggiore di 0, mentre cambia segno se è minore di 0...un esempio è lampante:


$4>3$ ---> divido per 2 ---> $4/2>3/2$ ---> $2>3/2$ ---> che è vero

$4>3$ ---> divido per -2 ---> $4/-2>3/-2$ ---> $-2> -3/2$ ---> che è falso!!! Infatti è $-2<-3/2$ (si è cambiato il verso della disequazione)


Bon, il problema è risolto, ma soprattutto spero di averti fatto capire il senso di quello che stai risolvendo per facilitarti la comprensione di tutto il resto!!
Sappi che c'ho messo un sacco a scrivere tutta sta roba...quindi impegnati e capisci tutto, così non ho sprecato il mio tempo per nulla

Ciao ciao!!! Mauro

[*Salvo*115]

Grazie mille
Sono sul primo tuo post, ho stampato la pagina e stocercando col tuo metodo di risolverne altre(sarà piu' facile fermarsi sui perchè di certi passaggi, prima di andare al secondo post). Credo che ci mettero' un paio di orette prima di arrivare alla conclusione (tuo secondo post), ma sei stato davvero di estremo aiuto (non scappare )-

[*pizzaf40]

No problema...mi sembri lanciato comunque!
Se non capisci qualche passaggio dimmi..

[*Salvo*115]

...Dio mio, ragazzi...è grave e vergognoso: non ci riesco

Un altra disequazione, per togliere da torno il "fratto" e spedirmi in maniera piu' lineare:


$|1-6x|-2>1$

Allora: ho letto tutto il possibile, e mi tocca intanto dimostrare che il segno (che è sempre postitivo) all'interno del modulo, o del valore assoluto sia positivo.
Quindi devo sviluppare tre moduli, spostando da sinistra a destra, in questo caso l'"1", dimostrando coi tre moduli...cosa? Le possibilità che il valore assoluto sia minore, uguale e maggiore di zero (?)-

Procedo cosi':
${1-6x>3$
${1-6x>0$
(facendo finta che è un'unica grande graffa)

Poi...? Devo invertire anche i segni anche a sinistra della disequazione per il secondo modulo?

[elios2]

Dal punto di vista puramente algebrico, l'ultima disequazione che tu hai scritto si risolve in questo modo:
$|1-6x|-2>1$
Devi analizzare il caso in cui l'argomento che sta dentro le sbarre del modulo sia positivo, cioè $1-6x>0$. In questo caso l'argomento stesso, messo dentro il modulo, non cambia il segno.
Quando invece analizzi il caso in cui l'argomento del modulo sia negativo, cioe $1-6x<0$, allora per togliere il modulo nella disequazione devi cambiare il segno, e così diventa $-1+6x$.
Costrusci il primo sistema:
$1-6x>0$
$1-6x-2>1$
Fai l'intersezione delle soluzioni. Dovrebbe venirti $x<-1/3$
Costrusci il secondo sistema:
$1-6x<0$
$-1+6x-2>1$
Fai l'intersezione delle soluzioni. Dovrebbe venirti $x>2/3$

La soluzione della prima disequazione col modulo è data dall'unione dei due insiemi di soluzioni trovate, cioè $x<-1/3 o x>2/3$

[*Salvo*115]

Bingo
La soluzione infatti è $(-°°, -1/3)cup(2/3, +°°)$

Quesito:

Fai l'intersezione delle soluzioni. Dovrebbe venirti $x<-1/3$

Ed è qui che mi perdo

[elios2]

Un sistema di disequazioni si risolve facendo l'intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni. In questo caso:
$1-6x>0$ ---> $x<1/6$
$1-6x-2>1$ ---> $-6x>2$ ---> $x<-1/3$
Prova a rappresentare su una linea dei numeri questi due valori. Avrai a sinistra $-1/3$ e a destra $1/6$ (non ha importanza la scala con cui li rappresenti). Beh, la prima disequazione prende tutti i valori da $1/6$ fino ad arrivare a meno infinito. La seconda disequazione prende tutti i valori da $-1/3$ a meno infinito. Si vede che le soluzioni comuni ad entrambe le disequazioni sono $x<-1/3$.
Fai la stessa cosa col secondo sistema.
Capito?

[*pizzaf40]

Son ovviamente daccordo con tutto quello che ha detto elios!
L'unica cosa che vorrei aggiungere, è...ricordati il senso del lavoro che stai facendo.

1) $y=f(x)$ è una funzione che disegna una linea sul piano $(x,y)$;

2) un sistema:

$y=f_1(x)$
$y=f_2(x)$

trova i punti d'intersezione tra le 2 linee;

3) $y>f(x)$ trova tutta la zona di piano sopra la linea, e $y
4) un sistema:

$y>f_1(x)$
$y>f_2(x)$

trova l'intersezione tra le zone identificate da ogni singola disequazione. L'intersezione consiste nel prendere due zone di piano, e scegliere la parte dove le due zone si incrociano. Un esempio semplice è...prendi due fogli (che sono la zona 1 e la zona due) e li appoggi distanti tra loro...visto che non si toccano, l'intersezione tra loro sarà vuota. Se li metti esattamente uno sopra l'altro, l'intersezione sarà tutto il foglio. Se li appoggi in modo che si tocchino solo parzialmente, la zona in cui si toccano sarà la loro intersezione (che quindi sarà più piccola del foglio stesso). Alla stessa maniera dovrai trovare l'intersezione tra le 2 zone che identificano le disequazioni nel sistema...questo è il senso. Nota anche che il sistema di equazioni (non diseq.) trova l'intersezione tra le due linee, quindi un punto (l'intersezione tra 2 zone che sono 2 linee, è una zona talmente piccola che è un punto!!).

5) $y>|f(x)|$ bisogna dividerla in due:

$y>f(x)$ che vale per $x>c$
$y<-f(x)$ che vale per $x
e ognuna di queste 2 crea un sistema di disequazioni:

$y>f(x)$
$x>c$

e:

$y<-f(x)$
$x
Ognuno di questi due sistemi ha lo scopo di trovare la zona di piano in cui vale...quindi, risolvendoli entrambi, troverai 2 zone. Entrambe queste 2 zone (quindi sommate, e non intersecate) saranno la soluzione del problema $y>|f(x)|$