Disequazione trigonometrica
Sto riguardando alcuni appunti relativi ad una esercitazione di analisi matematica 2(Ingegneria)
Per risolvere un integrale doppio, dopo aver fatto le sostituzioni polari si arriva a dover risolvere questa disequazione:
$sinθ +cosθ >=0$
Negli appunti si divide tutto per cosθ (ma è lecito visto che il coseno più essere negativo?!?) ottenendo:
$tanθ >=-1$
Che(sempre secondo gli appunti) è risolta per $-pi/4<=θ <=3pi/4$
Ma è falsa sta cosa, essendo la tangente non definita su $pi/2$!
Vi chiedo, considerando che l'esercizio è stato svolto da un docente di matematica...possibile che sia sbagliato?
Quale sarebbe il modo migliore di risolvere le disequazioni di questo tipo?
Io prima di dividere per il coseno considererei separatemente la disequazione negli intervalli tra $-pi/2$ e $+pi/2$(coseno positivo) e tra $pi/2$ e $3pi/2$(coseno negativo, invertendo quindi il verso della disequazione) per poi unire i due intervalli.
Ma ammetto di essere un pochino arruginito su questo tipo di disequazioni, quindi chiedo aiuto a qualche esperto.
Grazie anticipate
Per risolvere un integrale doppio, dopo aver fatto le sostituzioni polari si arriva a dover risolvere questa disequazione:
$sinθ +cosθ >=0$
Negli appunti si divide tutto per cosθ (ma è lecito visto che il coseno più essere negativo?!?) ottenendo:
$tanθ >=-1$
Che(sempre secondo gli appunti) è risolta per $-pi/4<=θ <=3pi/4$
Ma è falsa sta cosa, essendo la tangente non definita su $pi/2$!
Vi chiedo, considerando che l'esercizio è stato svolto da un docente di matematica...possibile che sia sbagliato?
Quale sarebbe il modo migliore di risolvere le disequazioni di questo tipo?
Io prima di dividere per il coseno considererei separatemente la disequazione negli intervalli tra $-pi/2$ e $+pi/2$(coseno positivo) e tra $pi/2$ e $3pi/2$(coseno negativo, invertendo quindi il verso della disequazione) per poi unire i due intervalli.
Ma ammetto di essere un pochino arruginito su questo tipo di disequazioni, quindi chiedo aiuto a qualche esperto.
Grazie anticipate
Risposte
Personalmente userei le formule parametriche:
$sinx=(2t)/(1+t^2)$
$cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
dove
$t = tan(x/2)$
$sinx=(2t)/(1+t^2)$
$cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
dove
$t = tan(x/2)$
Il modo giusto di procedere, se vuoi dividere per il coseno, è scrivere
[tex]$\cos\theta(\tan\theta+1)\ge 0$[/tex]
per cui risolvendo le deu disequazioni e mettendo insieme i risultati ottieni [tex]$0\le \theta<\pi/2,\ \pi/2<\theta\le {3\pi}/4,\ {7\pi}/{4}\le\theta\le 2\pi$[/tex]. Per il punto $\pi/2$, prova a sotituirlo nella disequazione originale: otterrai $1+0\ge 0$ che è verificata, e quindi il punto va incluso nelle soluzioni.
[tex]$\cos\theta(\tan\theta+1)\ge 0$[/tex]
per cui risolvendo le deu disequazioni e mettendo insieme i risultati ottieni [tex]$0\le \theta<\pi/2,\ \pi/2<\theta\le {3\pi}/4,\ {7\pi}/{4}\le\theta\le 2\pi$[/tex]. Per il punto $\pi/2$, prova a sotituirlo nella disequazione originale: otterrai $1+0\ge 0$ che è verificata, e quindi il punto va incluso nelle soluzioni.
"ciampax":
Il modo giusto di procedere, se vuoi dividere per il coseno, è scrivere
[tex]$\cos\theta(\tan\theta+1)\ge 0$[/tex]
per cui risolvendo le deu disequazioni e mettendo insieme i risultati ottieni [tex]$0\le \theta<\pi/2,\ \pi/2<\theta\le {3\pi}/4,\ {7\pi}/{4}\le\theta\le 2\pi$[/tex]. Per il punto $\pi/2$, prova a sotituirlo nella disequazione originale: otterrai $1+0\ge 0$ che è verificata, e quindi il punto va incluso nelle soluzioni.
La tua soluzione corrisponde proprio a $-pi/4<=θ <=3pi/4$, quindi il risultato era giusto...
Cmq avrei bisogno di esercitarmi un pochino, conoscete qualche link che copra l'argomento in maniera chiara ed esaustiva?
Grazie ad entrambi
Guarda, prova un po' a guardare qui: http://www.unimath.altervista.org/index ... &Itemid=26 nella sezione relativa alle lezioni sulla trigonometria (sono i testi dei precorsi di qualche anno fa tenuti alla Facoltà di Ingegneria di Potenza).
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