Disequazione trascendente con parametro alfa
Salve forum, ieri ho provato a dare il primo appello di analisi 1 e mi sono imbattuto in un quesito alquanto ostico che non sono riuscito a risolvere. Lo enuncio testualmente:
"Stabilire per quali valori del parametro reale α l'insieme di definizione della funzione:
f(x)=√(8x-x^2+10 log(x)-α)
non è vuoto. per tali valori, fornire qualche informazione rapidamente ottenibile su tale insieme di definizione.
Risposta:"
Non ho idea davvero come trovare i valori esatti della disequazione che pongo maggiore di zero per definire il dominio delle x primariamente, per poi trovare alfa. Qualche suggerimento?
Grazie
"Stabilire per quali valori del parametro reale α l'insieme di definizione della funzione:
f(x)=√(8x-x^2+10 log(x)-α)
non è vuoto. per tali valori, fornire qualche informazione rapidamente ottenibile su tale insieme di definizione.
Risposta:"
Non ho idea davvero come trovare i valori esatti della disequazione che pongo maggiore di zero per definire il dominio delle x primariamente, per poi trovare alfa. Qualche suggerimento?
Grazie
Risposte
Ci provo anch'io, con un altro approccio.
L'insieme \(\operatorname{Dom} f\) è costituito dalle (eventuali) soluzioni del sistema:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
x >0\\
8x-x^2 + 10 \log x \geq \alpha
\end{cases}
\]
e siamo interessati a stabilire per quali $\alpha \in \RR$ tale sistema ha soluzioni.
Risolvere (1) equivale a stabilire per quali $\alpha \in \RR$ la controimmagine dell'intervallo $[\alpha , +\infty[$ mediante la funzione:
\[
\phi (x) := 8x-x^2 + 10\log x
\]
definita in \(\operatorname{Dom} \phi = ]0,+\infty[\) non è vuota, poiché è evidente che le soluzioni di (1) sono gli \(\operatorname{Dom} \phi\) tali che \(\phi (x)\geq \alpha\); dunque \(\operatorname{Dom} f = \phi^{-1}([\alpha , +\infty[)\).
Si vede facilmente che la controimmagine \(\phi^{-1}([\alpha , +\infty[)\) è vuota se \(\alpha >\sup_{]0,+\infty[} \phi\) oppure se \(\alpha = \sup_{]0,+\infty[} \phi\) e però $\alpha$ non è un valore assunto da \(\phi\) (cioè \(\alpha\) non è il massimo assoluto di \(\phi\)); pertanto, basta studiare la funzione \(\phi\) e determinarne l'estremo superiore per risolvere il problema.
Dato che \(\phi\) è continua e drivabile in $]0,+\infty[$, dato che:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (x) &= 8-2x+\frac{10}{x} \\
& = -2\ \frac{x^2 - 4 x - 5}{x} \\
&= -2\ \frac{(x-5)(x+1)}{x}
\end{split}
\]
e dato che \(x>0\), abbiamo \(\phi^\prime (x) \geq 0\) se e solo se \(x\leq 5\); ne consegue che il punto \(x_0=5\) è di massimo assoluto per la funzione \(\phi\) e che:
\[
\begin{split}
\sup_{]0,+\infty[} \phi &= \max_{]0,+\infty[} \phi \\
&= \phi (5) \\
&= 15+10\log 5\\
&\approx 31.094\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente l'insieme \(\operatorname{Dom} f = \phi^{-1}([\alpha , +\infty[)\) è vuoto solo se \(\alpha > \phi (5)\) e non vuoto se \(\alpha \leq \phi (5)\).
Per descrivere meglio \(\operatorname{Dom} f\), distinguiamo due casi:
L'insieme \(\operatorname{Dom} f\) è costituito dalle (eventuali) soluzioni del sistema:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
x >0\\
8x-x^2 + 10 \log x \geq \alpha
\end{cases}
\]
e siamo interessati a stabilire per quali $\alpha \in \RR$ tale sistema ha soluzioni.
Risolvere (1) equivale a stabilire per quali $\alpha \in \RR$ la controimmagine dell'intervallo $[\alpha , +\infty[$ mediante la funzione:
\[
\phi (x) := 8x-x^2 + 10\log x
\]
definita in \(\operatorname{Dom} \phi = ]0,+\infty[\) non è vuota, poiché è evidente che le soluzioni di (1) sono gli \(\operatorname{Dom} \phi\) tali che \(\phi (x)\geq \alpha\); dunque \(\operatorname{Dom} f = \phi^{-1}([\alpha , +\infty[)\).
Si vede facilmente che la controimmagine \(\phi^{-1}([\alpha , +\infty[)\) è vuota se \(\alpha >\sup_{]0,+\infty[} \phi\) oppure se \(\alpha = \sup_{]0,+\infty[} \phi\) e però $\alpha$ non è un valore assunto da \(\phi\) (cioè \(\alpha\) non è il massimo assoluto di \(\phi\)); pertanto, basta studiare la funzione \(\phi\) e determinarne l'estremo superiore per risolvere il problema.
Dato che \(\phi\) è continua e drivabile in $]0,+\infty[$, dato che:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (x) &= 8-2x+\frac{10}{x} \\
& = -2\ \frac{x^2 - 4 x - 5}{x} \\
&= -2\ \frac{(x-5)(x+1)}{x}
\end{split}
\]
e dato che \(x>0\), abbiamo \(\phi^\prime (x) \geq 0\) se e solo se \(x\leq 5\); ne consegue che il punto \(x_0=5\) è di massimo assoluto per la funzione \(\phi\) e che:
\[
\begin{split}
\sup_{]0,+\infty[} \phi &= \max_{]0,+\infty[} \phi \\
&= \phi (5) \\
&= 15+10\log 5\\
&\approx 31.094\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente l'insieme \(\operatorname{Dom} f = \phi^{-1}([\alpha , +\infty[)\) è vuoto solo se \(\alpha > \phi (5)\) e non vuoto se \(\alpha \leq \phi (5)\).
Per descrivere meglio \(\operatorname{Dom} f\), distinguiamo due casi:
- [*:1a46ojjx]se \(\alpha = \phi (5)\), allora \(\phi^{-1}([\alpha , +\infty[) = \{5\}=\operatorname{Dom} f\), sicché $f$ è definita solo nel punto $5$;
[/*:m:1a46ojjx]
[*:1a46ojjx]se \(\alpha < \phi (5)\), visto che la \(\phi\) è strettamente crescente in \(]0,5]\) e strettamente decrescente in \([5,+\infty[\), visto che \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \phi (x) = -\infty = \lim_{x\to +\infty} \phi (x)\) e tenuto presente il Teorema dei Valori Intermedi, esistono esattamente due punti \(0
Questo chiude l'esercizio.
Grazie mille per le risposte, avevo tentato anche io un approccio grafico ma non ho saputo continuare.
Il quesito dell'esame, comunque, richiedeva di dare la risposta in una riga. Secondo voi cosa cosa avrei potuto scrivere ?
Il quesito dell'esame, comunque, richiedeva di dare la risposta in una riga. Secondo voi cosa cosa avrei potuto scrivere ?
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