Disequazione trascendente
Ragazzi non riesco proprio a risolvere questo tipo di disequazioni non conosco il metodo...come sempre vi chiedo aiuto...qual è l'insieme delle soluzioni della disequazione $2^sqrt(x-2)>(1/4)^x$. Soluzioni a) per ogni x che appartiene ad R b) ]2,+∞[ c) ]0,+∞[ d) per nessuna x che appartiene ad R e) nessuna delle altre risposte. Non riesco a risolvere questo tipo di disequazione perchè non so come comportarmi con il 2 e 1/4 , se potete spiegatemi il procedimento.grazie...
Risposte
L'idea di fondo con questo tipo di disequazioni è quella di scrivere i due membri come potenze della stessa base e poi di passare dalla disuguaglianza tra le potenze alla disuguagllianza tra gli esponenti.
Nel caso del tuo esercizio, si può pensare, ad esempio, di scrivere il secondo membro come potenza di $2$:$2^sqrt(x-2) > (1/4)^x \quad , \quad 2^sqrt(x-2) > 4^(-x) \quad , \quad 2^sqrt(x-2) > 2^(-2x) $
applicando ora il $log_2$ ad entrambi i membri, e tenendo conto che tale funzione è monotona crescente, si ha che il verso della disequazione non cambia quando si passa dalla disuguaglianza tra le potenze a quella tra gli esponenti. Per cui risulta
$sqrt(x-2) > -2x$
che va risolta con gli usuali metodi delle disequazioni irrazionali.
Altrettanto lecito era, ad esempio, scrivere il primo membro come potenza di $1/4$ per cui
$2^sqrt(x-2) > (1/4)^x \quad , \quad 4^(sqrt(x-2)/2) > (1/4)^x \quad , \quad (1/4)^(-sqrt(x-2)/2) > (1/4)^x$
applicando ora il $log_(1/4)$ ad entrambi i membri, e tenendo conto che tale funzione è monotona DEcrescente, si ha che il verso della disequazione cambia quando si passa dalla disuguaglianza tra le potenze a quella tra gli esponenti. Per cui risulta
$-sqrt(x-2)/2 < x \quad => \quad sqrt(x-2) > -2x$
che è (e non potrebbe essere altrimenti!) la stessa disequazione irrazionale ottenuta col metodo precedente.
Nel caso del tuo esercizio, si può pensare, ad esempio, di scrivere il secondo membro come potenza di $2$:$2^sqrt(x-2) > (1/4)^x \quad , \quad 2^sqrt(x-2) > 4^(-x) \quad , \quad 2^sqrt(x-2) > 2^(-2x) $
applicando ora il $log_2$ ad entrambi i membri, e tenendo conto che tale funzione è monotona crescente, si ha che il verso della disequazione non cambia quando si passa dalla disuguaglianza tra le potenze a quella tra gli esponenti. Per cui risulta
$sqrt(x-2) > -2x$
che va risolta con gli usuali metodi delle disequazioni irrazionali.
Altrettanto lecito era, ad esempio, scrivere il primo membro come potenza di $1/4$ per cui
$2^sqrt(x-2) > (1/4)^x \quad , \quad 4^(sqrt(x-2)/2) > (1/4)^x \quad , \quad (1/4)^(-sqrt(x-2)/2) > (1/4)^x$
applicando ora il $log_(1/4)$ ad entrambi i membri, e tenendo conto che tale funzione è monotona DEcrescente, si ha che il verso della disequazione cambia quando si passa dalla disuguaglianza tra le potenze a quella tra gli esponenti. Per cui risulta
$-sqrt(x-2)/2 < x \quad => \quad sqrt(x-2) > -2x$
che è (e non potrebbe essere altrimenti!) la stessa disequazione irrazionale ottenuta col metodo precedente.
una volta che si ha la stessa base cioè 2 a che serve il log di 2???per quanto riguarda il secondo membro una volta che si ha la stessa base hai moltiplicato -2 * x?cmq non capisco perchè si deve mettere il log di 2...potresti spiegarmelo...
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