Disequazione strana

[DuxDjo]

Cito testualmente da un vecchio esame:

Trovare,se esiste,la più piccola costante C tale che

$1+x^2<=C*e^|x|$


Io ho ragionato così se x=0 vale l'uguale,quindi sarà $C>=1$.
Poi ho pensato ai grafici delle due funzioni e mi è sembrato a okkio che nn si intersecassero mai,per verifica ho fatto al pc il grafico di $e^x-x^2-1$ e la funzione nn ha zeri.
è vero che qsta notte ho dormito poco ,ma mi sembra corretto!!
Quindi C=1??Certo se è così ke esame del ca...

[rubik2]

io studierei la funzione $(1+x^2)/e^|x|$ cercando un eventuale massimo assoluto...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"DuxDjo":ho fatto al pc il grafico di $e^x-x^2-1$ e la funzione nn ha zeri.

Ne dubito, dato che per $x=-1$ viene $1/e-2<0$ e per $x=1$ viene $e-2>0$.

Edito: ah, forse intendevi dire che hai fatto il grafico di $e^{|x|}-x^2-1$. Allora ok. Però più che non avere zeri, è sempre non negativa (si annulla in 0).

[salsa88]

ha ragione rubik... viene fratto e al valore assoluti di x

[zorn1]

Cerco di risolvere il problema: è evidente, come dice rubik, che il problema è equivalente a cercare l'estremo superiore dell'immagine della funzione:
$ f(x) = (x^2+1)/e^|x|$

Infatti essendo sempre $e^|x|>0$ si ha $x^2+1<=Ce^|x|$ se e solo se $ (x^2+1)/e^|x|<=C AA x$ da cui dovendo essere C minimo C è il sup dell'immagine della funzione (se finito).

Ok, detto questo, osserviamo che la funzione f è pari, quindi la si può studiare per valori non negativi.
E' $ f(0)=1 $, inoltre, studiando il segno della derivata:
$ f'(x) = d/dx (x^2+1)/e^x = (e^x)*(2x - x^2 - 1)/e^(2x) $ ha lo stesso segno di $ 2x - x^2 - 1 = -(x-1)^2 $ che è evidentemente mai positivo, perciò la funzione è non crescente in $[0;+oo[$, da cui $ max f = f(0) = 1 $ da cui $C=1$

Spero di essere stato chiaro buonasera a tutti!