Disequazione reciproca quarto grado prima specie

[curwen]

Salve, ho studiato il metodo di risoluzione delle disequazioni di quarto grado di prima specie, ma dev'esserci qualcosa che sbaglio, perché mentre alcuni esercizi mi portano, altri continuano a darmi sempre lo stesso risultato... sbagliato!
Esempio:
$2x^4-5x^3+4x^2-5x+2<0$
Una volta verificato che $x=0$ non è soluzione, pongo x diverso da 0 e divido per $x^2$, sicuramente positivo. Ottengo:
$2x^2-5x+4-5/x+2/x^2<0$
Ponendo $t=x+1/x$ e raccogliendo ottengo:
$2t^2-5t<0$
Questa disequazione ha soluzioni per t compreso tra 0 e 5/2. Il che significa che posso scrivere:
$x+1/x>0$ e $x+1/x<5/2$
Ora, entrambe possono essere risolte moltiplicando entrambi i membri per x, ma dato che non so se x è positivo o negativo, per ciascuna disequazione devo impostare 2 sistemi. Per la prima:
${(x>0),(x^2+1>0):}$
e
${(x<0),(x^2+1<0):}$
Per la seconda:
${(x>0),(x^2-5x/2+1<0):}$
e
${(x<0),(x^2-5x/2+1>0):}$
Il primo sistema ha risultato $x>0$, il secondo non ha soluzione, il terzo $1/2 Ora, se la soluzione finale è data dall'unione di queste soluzioni, dovrebbe essere x diverso da 0. Invece, la soluzione corretta (verificata anche per sostituzione) è $1/2

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Risposte

Gi81

15 apr 2010, 11:14

"curwen":
$2t^2-5t<0$
Questa disequazione ha soluzioni per t compreso tra 0 e 5/2. Il che significa che posso scrivere:
$x+1/x>0$ e $x+1/x<5/2$

Fino a qui, tutto ok

"curwen":
Ora, entrambe possono essere risolte moltiplicando entrambi i membri per x, ma dato che non so se x è positivo o negativo, per ciascuna disequazione devo impostare 2 sistemi. Per la prima:
${(x>0),(x^2+1>0):}$
e
${(x<0),(x^2+1<0):}$
Per la seconda:
${(x>0),(x^2-5x/2+1<0):}$
e
${(x<0),(x^2-5x/2+1>0):}$

E invece no. Per ciascuna disequazione dovresti fare denominatore comune, e poi applicare la regola dei segni per trovarne le soluzioni. hai presente quella tabella dove metti $+$ e $-$(non saprei come spiegarla altrimenti )?

A questo punto avrai per ciascuna disequazione la sua soluzione, quindi 2 insiemi di soluzioni
Siccome le due disequazioni devono valere entrambe, dovrai fare l'intersezione tra i 2 insiemi di soluzioni

Comuque (se non sbaglio) tutti i calcoli che hai fatto sono giusti [ciò che è sbagliato è il metodo]

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curwen

15 apr 2010, 16:44

Credo di aver capito il metodo che spieghi tu, ma come mai quello che ho usato io è sbagliato? ad esempio per $x+1/x<5/2$, in teoria se moltiplico entrambi i membri per x ottengo una disequazione con lo stesso verso se x è positivo e con verso opposto se x è negativo, quindi gli ultimi due tra i sistemi che ho scritto nel primo post! Io ho seguito il metodo (a meno che non abbia compreso male, il che è possibile) spiegato nel primo volume delle Esercitazioni di Matematica del Marcellini-Sbordone (pp.78-79).
"...$t<0$ e $t>3/4$. In corrispondenza abbiamo le due disequazioni:
$x+1/x<0$,$x+1/x>3/2$.
Moltiplicando entrambi i membri per x, e tenendo conto del segno di x, otteniamo i quattro casi:
${(x>0),(x^2+1<0):}$
${(x<0),(x^2+1>0):}$
${(x>0),(x^2+1>3x/2):}$
${(x<0),(x^2+1<3x/2):}$"
(Per la vertità nel terzo sistema la prima condizione è x<0 e non maggiore, ma credo si tratti di un errore di stampa perché poi il testo prosegue:
"Il primo sistema non ha soluzioni, il secondo ha come soluzioni ogni x<0; il terzo ha per soluzioni ogni x>0, il quarto non ha soluzioni.
Riassumendo, ogni x appartenente a R è soluzione della disequazione data [cioè l'unione dei risultati dei singoli sistemi più lo zero, testato come soluzione prima di dividere il polinomio].
Se ti serve, la disequazione da cui parte l'esempio citato è:
$2x^4-3x^3+4x^2-3x+2>0$
Perché in questo caso la procedura seguita va bene e nel mio no?

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@melia

15 apr 2010, 17:53

"curwen":Salve, ho studiato il metodo di risoluzione delle disequazioni di quarto grado di prima specie, ma dev'esserci qualcosa che sbaglio, perché mentre alcuni esercizi mi portano, altri continuano a darmi sempre lo stesso risultato... sbagliato!
Esempio:
$2x^4-5x^3+4x^2-5x+2<0$
Una volta verificato che $x=0$ non è soluzione, pongo x diverso da 0 e divido per $x^2$, sicuramente positivo. Ottengo:
$2x^2-5x+4-5/x+2/x^2<0$
Ponendo $t=x+1/x$ e raccogliendo ottengo:
$2t^2-5t<0$
Questa disequazione ha soluzioni per t compreso tra 0 e 5/2. Il che significa che posso scrivere:
$x+1/x>0$ e $x+1/x<5/2$

È qui l'errore, non puoi scrivere $x+1/x>0$ e $x+1/x<5/2$, ma $00),(x+1/x<5/2):}$
Adesso quale metodo intendi usare per risolvere le due disequazioni sono affari tuoi, una volta risolte ottieni $\{(x>0),(x<0vv1/2

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curwen

15 apr 2010, 20:27

Ok, penso di aver capito. Il problema è che, nell'esempio fornito dall'eserciziario, con la sostituzione t=x+1/x ottenevo tt2, mentre nel mio caso il risultato era t1 Grazie per l'aiuto!

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[Gi81]

"curwen":
$2t^2-5t<0$
Questa disequazione ha soluzioni per t compreso tra 0 e 5/2. Il che significa che posso scrivere:
$x+1/x>0$ e $x+1/x<5/2$

Fino a qui, tutto ok

"curwen":
Ora, entrambe possono essere risolte moltiplicando entrambi i membri per x, ma dato che non so se x è positivo o negativo, per ciascuna disequazione devo impostare 2 sistemi. Per la prima:
${(x>0),(x^2+1>0):}$
e
${(x<0),(x^2+1<0):}$
Per la seconda:
${(x>0),(x^2-5x/2+1<0):}$
e
${(x<0),(x^2-5x/2+1>0):}$

E invece no. Per ciascuna disequazione dovresti fare denominatore comune, e poi applicare la regola dei segni per trovarne le soluzioni. hai presente quella tabella dove metti $+$ e $-$(non saprei come spiegarla altrimenti )?

A questo punto avrai per ciascuna disequazione la sua soluzione, quindi 2 insiemi di soluzioni
Siccome le due disequazioni devono valere entrambe, dovrai fare l'intersezione tra i 2 insiemi di soluzioni

Comuque (se non sbaglio) tutti i calcoli che hai fatto sono giusti [ciò che è sbagliato è il metodo]

[curwen]

Credo di aver capito il metodo che spieghi tu, ma come mai quello che ho usato io è sbagliato? ad esempio per $x+1/x<5/2$, in teoria se moltiplico entrambi i membri per x ottengo una disequazione con lo stesso verso se x è positivo e con verso opposto se x è negativo, quindi gli ultimi due tra i sistemi che ho scritto nel primo post! Io ho seguito il metodo (a meno che non abbia compreso male, il che è possibile) spiegato nel primo volume delle Esercitazioni di Matematica del Marcellini-Sbordone (pp.78-79).
"...$t<0$ e $t>3/4$. In corrispondenza abbiamo le due disequazioni:
$x+1/x<0$,$x+1/x>3/2$.
Moltiplicando entrambi i membri per x, e tenendo conto del segno di x, otteniamo i quattro casi:
${(x>0),(x^2+1<0):}$
${(x<0),(x^2+1>0):}$
${(x>0),(x^2+1>3x/2):}$
${(x<0),(x^2+1<3x/2):}$"
(Per la vertità nel terzo sistema la prima condizione è x<0 e non maggiore, ma credo si tratti di un errore di stampa perché poi il testo prosegue:
"Il primo sistema non ha soluzioni, il secondo ha come soluzioni ogni x<0; il terzo ha per soluzioni ogni x>0, il quarto non ha soluzioni.
Riassumendo, ogni x appartenente a R è soluzione della disequazione data [cioè l'unione dei risultati dei singoli sistemi più lo zero, testato come soluzione prima di dividere il polinomio].
Se ti serve, la disequazione da cui parte l'esempio citato è:
$2x^4-3x^3+4x^2-3x+2>0$
Perché in questo caso la procedura seguita va bene e nel mio no?

[@melia]

"curwen":Salve, ho studiato il metodo di risoluzione delle disequazioni di quarto grado di prima specie, ma dev'esserci qualcosa che sbaglio, perché mentre alcuni esercizi mi portano, altri continuano a darmi sempre lo stesso risultato... sbagliato!
Esempio:
$2x^4-5x^3+4x^2-5x+2<0$
Una volta verificato che $x=0$ non è soluzione, pongo x diverso da 0 e divido per $x^2$, sicuramente positivo. Ottengo:
$2x^2-5x+4-5/x+2/x^2<0$
Ponendo $t=x+1/x$ e raccogliendo ottengo:
$2t^2-5t<0$
Questa disequazione ha soluzioni per t compreso tra 0 e 5/2. Il che significa che posso scrivere:
$x+1/x>0$ e $x+1/x<5/2$

È qui l'errore, non puoi scrivere $x+1/x>0$ e $x+1/x<5/2$, ma $00),(x+1/x<5/2):}$
Adesso quale metodo intendi usare per risolvere le due disequazioni sono affari tuoi, una volta risolte ottieni $\{(x>0),(x<0vv1/2

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[curwen]

Ok, penso di aver capito. Il problema è che, nell'esempio fornito dall'eserciziario, con la sostituzione t=x+1/x ottenevo tt2, mentre nel mio caso il risultato era t1 Grazie per l'aiuto!