Disequazione "mista"

[Massimo314]

Buongiorno, stavo svolgendo degli esercizi di analisi sugli integrali generalizzati e mi sarebbe utile verificare che per ogni x $in$$]0,+infty[$ la seguente disequazione è verificata: $e^x-1-sinx>0$.
Io avevo pensato di riscrivere la disequazione così $e^x-(1+sinx)>0$ e poi di ragionare sui valori assunti dalle funzioni $f(x)=e^x$ e $g(x)=1+sinx$ nell'intervallo $]0,+infty[$, però non mi sembra un metodo molto pulito e rigoroso. Voi sapreste darmi un consiglio?
Grazie in anticipo a chi vorrà darmi una mano!

[pilloeffe]

Ciao maxxi,

Io avrei considerato il grafico della funzione $f(x) = e^x - 1 $ (esponenziale traslata verso il basso di $1$) e quello della funzione $g(x) = sin x $: si vede immediatamente che $\forall x \in [0, +\infty) $ si ha $f(x) \ge g(x) $

Oppure anche coi grafici delle funzioni che hai considerato tu: si vede subito che le due funzioni si toccano solo in $x = 0$, poi $\forall x > 0 $ la funzione $e^x $ sta sempre sopra la funzione $1 + sin x $

Un'altra possibilità è studiare il segno della derivata prima della funzione $h(x) = e^x - 1 - sinx $ che è $h'(x) = e^x - cos x $: sempre positiva $\forall x > 0 $ e nulla per $x = 0 $ e dato che $h(x) $ è continua in quanto somma algebrica di funzioni continue...

[gugo82]

Lo diceva anche Arisa tempo fa, quando cantava "Convessità, adesso tutto è così semplice..."

La funzione $f(x) := e^x - 1$ è strettamente convessa ed ha per tangente nel punto di ascissa $0$ la retta di equazione $y = x$; quindi risulta:

$e^x - 1 >= x$ in tutto $RR$

con uguaglianza solo se $x=0$.
D'altra parte, visto che $1 >= cos t$, per $x >= 0$ hai:

$x = int_0^x 1\ "d" t >= int_0^x cos t \ "d" t = sin x$

con uguaglianza solo se $x=0$.

Mettendo insieme hai:

$e^x - 1 > x > sin x \quad => \quad e^x - 1 - sin x > 0$

per ogni $x > 0$.