Disequazione logaritmica particolare
$x^2-4x+3+2logx>=0$
Sfruttando le propietà dei logaritmi sono arrivato a questa conclusione: $x^2>=e^(-x^2+4x-3)$
Tuttavia penso che sia molto difficile risolverla in questo modo; la mia prof. mi ha accennato ad un metodo risolutivo grafico, dove si studia il punto di intersezione di una parabola e il grafico del logaritmo... qualcuno ne sa qualcosa?
Sfruttando le propietà dei logaritmi sono arrivato a questa conclusione: $x^2>=e^(-x^2+4x-3)$
Tuttavia penso che sia molto difficile risolverla in questo modo; la mia prof. mi ha accennato ad un metodo risolutivo grafico, dove si studia il punto di intersezione di una parabola e il grafico del logaritmo... qualcuno ne sa qualcosa?
Risposte
con le equazioni di questo tipo solo in pochi casi si può trovare una soluzione esatta, rimane quindi il metodo grafico: io partirei scrivendo la disequazione in questo modo $x^2-4x+3>=-2logx$, poi sovrapponi il grafico dei 2 membri considerati separatamente e osservi i tratti i cui il primo membro "sta sopra" al secondo
quindi devo studiare le funzioni separatamente?
Sì..
Fatto. Le funzioni si intersecano nel punto (1;0). Quindi la soluzione dovrebbe essere $x>=1$ 
Vediamo un po'
stiamo studiando il segno di una funzione in cui compare un polinomio $x^2-4x+3$ e poi si somma $2logx$
allora il nostro grafico lo otterremo "sommando" il grafico della prima parte, sarà una parabola, al grafico della seconda parte;
è decisamente più semplice studiare i due grafici in maniera indipendente:
nel primo caso la parabola è rivolta verso l'alto e si possono facilmente trovare le radici osservando che $(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ di conseguenza incontra l'asse delle x in $x_1=+1$ e $x_2=+3$ esternamente è positiva, internamente negativa, ultima osservazione incontra l'asse delle y nel punto di ordinata 3.
L'altra curva è positiva per x>1, =0 per x=1 e negativa per x<1, non è definita per $x<=0$, di conseguenza osservo che la mia espressione è uguale a 0 per x=+1 e sicuramente positiva per x>+3, mi resta da determinare il segno tra 0 e 1 e tra 1 e 3.
A questo punto mi resta da studiare i due grafici insieme
$-x^2+4x-3<=2logx$
o alternativamente
$x^2-4x-3>=-2logx$
Spero di non aver sbagliato niente (ma purtroppo mi capita spesso di fare errori
)...
stiamo studiando il segno di una funzione in cui compare un polinomio $x^2-4x+3$ e poi si somma $2logx$
allora il nostro grafico lo otterremo "sommando" il grafico della prima parte, sarà una parabola, al grafico della seconda parte;
è decisamente più semplice studiare i due grafici in maniera indipendente:
nel primo caso la parabola è rivolta verso l'alto e si possono facilmente trovare le radici osservando che $(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ di conseguenza incontra l'asse delle x in $x_1=+1$ e $x_2=+3$ esternamente è positiva, internamente negativa, ultima osservazione incontra l'asse delle y nel punto di ordinata 3.
L'altra curva è positiva per x>1, =0 per x=1 e negativa per x<1, non è definita per $x<=0$, di conseguenza osservo che la mia espressione è uguale a 0 per x=+1 e sicuramente positiva per x>+3, mi resta da determinare il segno tra 0 e 1 e tra 1 e 3.
A questo punto mi resta da studiare i due grafici insieme
$-x^2+4x-3<=2logx$
o alternativamente
$x^2-4x-3>=-2logx$
Spero di non aver sbagliato niente (ma purtroppo mi capita spesso di fare errori
)...
"Prostaferesi":
$x^2-4x+3+2logx>=0$
Sfruttando le propietà dei logaritmi sono arrivato a questa conclusione: $x^2>=e^(-x^2+4x-3)$
Tuttavia penso che sia molto difficile risolverla in questo modo; la mia prof. mi ha accennato ad un metodo risolutivo grafico, dove si studia il punto di intersezione di una parabola e il grafico del logaritmo... qualcuno ne sa qualcosa?
Ciao. Supponendo che tu stia svolgendo un classico studio di funzione, sei sicuro che le informazioni ottenute prima non ti diano automaticamente una risposta?
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