Disequazione irrazionale con valore assoluto
Ciao, ho un dubbio sulla seguente disequazione:
\(\displaystyle \sqrt(|x^2-4|) >= x <=> \begin{cases} |x^2-4| >=0 \\ x<0\end{cases} \hspace{10 mm} U \hspace{10 mm}\begin{cases} x>=0 \\ |x^2-2|>=x^2\end{cases} \),
la soluzione del primo sistema è $x<=-2$, del secondo $0<=x<=sqrt(2)$, dopo aver unito le soluzioni del sistema
\(\displaystyle (x^2-4>=x^2) \hspace{5 mm} U \hspace{5 mm} (x^2-4 >= -x^2) \).
Quindi la soluzione della prima equazione irrazionale è \(\displaystyle (x<=-2) \hspace{5 mm}U \hspace{5 mm} (0<=x<=\sqrt(2)) \), però la vera soluzione è $x<=\sqrt(2)$ considerando che anche per $x > -2$ la disequazione è verificata, dove sta l'errore oppure o mancato qualche passaggio?
\(\displaystyle \sqrt(|x^2-4|) >= x <=> \begin{cases} |x^2-4| >=0 \\ x<0\end{cases} \hspace{10 mm} U \hspace{10 mm}\begin{cases} x>=0 \\ |x^2-2|>=x^2\end{cases} \),
la soluzione del primo sistema è $x<=-2$, del secondo $0<=x<=sqrt(2)$, dopo aver unito le soluzioni del sistema
\(\displaystyle (x^2-4>=x^2) \hspace{5 mm} U \hspace{5 mm} (x^2-4 >= -x^2) \).
Quindi la soluzione della prima equazione irrazionale è \(\displaystyle (x<=-2) \hspace{5 mm}U \hspace{5 mm} (0<=x<=\sqrt(2)) \), però la vera soluzione è $x<=\sqrt(2)$ considerando che anche per $x > -2$ la disequazione è verificata, dove sta l'errore oppure o mancato qualche passaggio?
Risposte
L'errore è nel primo sistema. Lo riscrivo ${(|x^2-4|>=0),(x<0):}$
Ora, qual è la soluzione di $|x^2-4|>=0$? Pensaci bene.
Ora, qual è la soluzione di $|x^2-4|>=0$? Pensaci bene.
Come te lo sei scritto il primo sistema? \(\displaystyle sqrt(-x^2 +4)>=x \) per le \(\displaystyle x^2-4<0 \) da cui hai l'insieme delle soluzioni \(\displaystyle ]-2;sqrt2] \) poichè la radice è sempre positiva e per le x positive elevi al quadrato ambo i membri,
per \(\displaystyle x^2-4>=0 \), poichè la radice è sempre positiva è verificata per \(\displaystyle x<=-2 \) mentre non è mai verificata per le ascisse positive poichè \(\displaystyle sqrtx^2=x>0 \)
per \(\displaystyle x^2-4>=0 \), poichè la radice è sempre positiva è verificata per \(\displaystyle x<=-2 \) mentre non è mai verificata per le ascisse positive poichè \(\displaystyle sqrtx^2=x>0 \)
"Gi8":
L'errore è nel primo sistema. Lo riscrivo ${(|x^2-4|>=0),(x<0):}$
Ora, qual è la soluzione di $|x^2-4|>=0$? Pensaci bene.
$|x^2-4| >= 0$ è sempre positivo quindi la soluzione di questo sistema è $x<0$ e unito a $0<=x<=\sqrt(2)$ si ha:
$x<=\sqrt(2)$
@blob84: esatto
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