Disequazione irrazionale

[marcus83]

ciao ragazzi potresti aiutarmi a risolvere il seguente esercizio. Qual è l'insieme delle soluzioni della disequazionen $ (1/2)^ sqrt((1-x^2))>2 $ So che si tratta di disequazione irrazionale e se non ci fosse quel 1/2 saprei anche come svolgerla ma non so come comportarmi con qual 1/2. grazie in anticipo per l'aiuto....Le soluzioni sono a) R b) [-1,1] c) ]-∞,-1]U[1,+∞[ d) ø e) nessuna delle altre risposte.

[_Tipper]

L'insieme di definizione è $[-1, 1]$. Applicando il logaritmo in base $\frac{1}{2}$ a entrambi i membri, e considerando che il logaritmo con base minore di $1$ è funzione monotona decsrescente, si ottiene

$\sqrt{1 - x^2} < -1$

visto che $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Ma una radice quadrata non può essere negativa, quindi...

[marcus83]

ma quindi hai messo il log. di 1/2 da entrambe le parti?cioè non capisco come fa dall'altro lato a venirti $ sqrt(1-X^2)<-1$

[_Tipper]

Dalla definizione di logaritmo.

"Tipper":...

visto che $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$...

Se lo vedi meglio, considera che $\log_{\frac{1}{2}}(2) = \log_{\frac{1}{2}}[(\frac{1}{2})^{-1}]$

[marcus83]

ma quindi poi bisognerebbe moltiplicare -1 per $sqrt(1-x^2) $

[Paolo902]

"marcus83":ma quindi poi bisognerebbe moltiplicare -1 per $sqrt(1-x^2) $

direi che la disequazione è bella e finita... può essere $sqrt(1-x^2) $ (che è una radice di indice pari) minore di un numero negativo?? certo che no, dal momento che è sempre un numero positivo... saluti.... Pol

[Paolo902]

scusatemi, ma mi è venuto in mente solo ora che, in alternativa al metodo correttissimo di Tipper, si potrebbe risolvere la disequazione senza l'uso dei logaritmi. Infatti, sappiamo che $1/2 = (2)^(-1)$, quindi i due membri della disequazione possono essere riscritti con la stessa base. A quel punto, avendo $ (1/2)^ sqrt((1-x^2))>(1/2)^(-1) $ ed essendo $1/2<1$, si scrive la disequazione fra gli esponenti con il verso cambiato. Il risultato, ovviamente, non cambia.