Disequazione in coordinate polari
Salve ragazzi dovendo calcolare un integrale doppio mi trovo a dover convertire il tutto in coordinate polari e risolvere di conseguenza il dominio per ottenere gli estremi di integrazione ma non ho la più pallida idea di come risolvere le disequazioni ottenute.
Il dominio è: D={x>=0, y>=0 x^2+y^2-2y<=1, y<= 1- sqrt(2)*x^2}
Essendo allora x=rcost e y=rsint con r>=0
Abbiamo: rcost>=0 , rsint>=0, r^2cost^2+ r^2sint^2 - 2rsint<=1, rsint<= 1- sqrt(2)*r^2cost^2.
dalle prime due trovo 2pi<=t<=pi/2 e 2pi<=t<=pi
ma le altre due come le risolvo?
la terza si riduce a r^2 - 2rsint<=1 e poi?
sulla quarta invece non so proprio dove metter mano.
AIUTOOOOOOO
Il dominio è: D={x>=0, y>=0 x^2+y^2-2y<=1, y<= 1- sqrt(2)*x^2}
Essendo allora x=rcost e y=rsint con r>=0
Abbiamo: rcost>=0 , rsint>=0, r^2cost^2+ r^2sint^2 - 2rsint<=1, rsint<= 1- sqrt(2)*r^2cost^2.
dalle prime due trovo 2pi<=t<=pi/2 e 2pi<=t<=pi
ma le altre due come le risolvo?
la terza si riduce a r^2 - 2rsint<=1 e poi?
sulla quarta invece non so proprio dove metter mano.
AIUTOOOOOOO
Risposte
La terza devi cercare di rimanere $\sin t$ da solo a primo membro, applichi i giusti passaggi ed ottieni
\(\displaystyle \sin t\geq \frac{r^2-1}{2r}\)
Ricavi
\(\displaystyle t\geq \arcsin \left(\frac{r^2-1}{2r}\right) \)
Per la quarta disequazione trasformi $\cos t$ in seno, ottieni
\(\displaystyle r\sin t\leq 1-r^2\sqrt{2} (1-\sin^2 t) \)
Poi risolvi la disequazione con le solite tecniche (è una disequazione di secondo grado un po' lunga da esporre).
\(\displaystyle \sin t\geq \frac{r^2-1}{2r}\)
Ricavi
\(\displaystyle t\geq \arcsin \left(\frac{r^2-1}{2r}\right) \)
Per la quarta disequazione trasformi $\cos t$ in seno, ottieni
\(\displaystyle r\sin t\leq 1-r^2\sqrt{2} (1-\sin^2 t) \)
Poi risolvi la disequazione con le solite tecniche (è una disequazione di secondo grado un po' lunga da esporre).
Il dominio è quello in bleu della figura. Secondo me il ricorso a coordinate polari appesantisce inutilmente il calcolo in quanto il dominio è definito molto semplicemente come segue :
$0<=x<=sqrt((sqrt2)/2)$
$0<=y<=1-x^2sqrt2$
"CaMpIoN":
La terza devi cercare di rimanere $\sin t$ da solo a primo membro, applichi i giusti passaggi ed ottieni
\(\displaystyle \sin t\geq \frac{r^2-1}{2r}\)
Ricavi
\(\displaystyle t\geq \arcsin \left(\frac{r^2-1}{2r}\right) \)
Per la quarta disequazione trasformi $\cos t$ in seno, ottieni
\(\displaystyle r\sin t\leq 1-r^2\sqrt{2} (1-\sin^2 t) \)
Poi risolvi la disequazione con le solite tecniche (è una disequazione di secondo grado un po' lunga da esporre).
Si quanto dici è esatto ma ai fini di trovare degli estremi precisi per la terza arrivo al semplice risultato che mi hai fornito senza sapere t in che valori varia mentre dalla seconda probabilmente ci ricavo qualcosa impostandola come dici.
"ciromario":
Il dominio è quello in bleu della figura. Secondo me il ricorso a coordinate polari appesantisce inutilmente il calcolo in quanto il dominio è definito molto semplicemente come segue :
$ 0<=x<=sqrt((sqrt2)/2) $
$ 0<=y<=1-x^2sqrt2 $
Si è vero però purtroppo il prof vuole che lo si risolva così perché ovviamente gli estremi di integrazione vengono calcolati analiticamente e non ad "occhio"
a me servirebbe ricavare da quelle due equazioni i valori tra cui variano t e r in modo tale da usarli poi come estremi di integrazione...in mancanza di una soluzione precisa la cosa migliore da fare è ovviamente impostare gli estremi come dice ciromario
anche se a guardare bene il grafico è sbagliato poiché la circonferenza è centrata in (0,1) e ha raggio unitario...quella disegnata invece no...quindi la parabola andrebbe ad intersecare la circonferenza e non l'asse delle x di conseguenza sarebbe molto più difficile calcolare gli estremi ad "occhio"
Faccio sommessamente 
osservare che la circonferenza non ha raggio unitario ma raggio $sqrt2$ ...Infatti la sua equazione si può scrivere così :
$x^2+(y-1)^2=2$
da cui si deduce che il centro è $(0,1) $ ed il raggio è $sqrt2$...
Ancor più sommessamente faccio osservare che i limiti non sono calcolati ad "occhio" ma in maniera analitica perché il dominio è limitato dai semiassi positivi x,y e dalla parabola...
osservare che la circonferenza non ha raggio unitario ma raggio $sqrt2$ ...Infatti la sua equazione si può scrivere così :$x^2+(y-1)^2=2$
da cui si deduce che il centro è $(0,1) $ ed il raggio è $sqrt2$...
Ancor più sommessamente faccio osservare che i limiti non sono calcolati ad "occhio" ma in maniera analitica perché il dominio è limitato dai semiassi positivi x,y e dalla parabola...
Si ed infattio l'equazione che avevo scritto io era $ x^2 + y^2 -2y = 1 $. Non lo dico per far polemica ma per correggermi se ho sbagliato, ed arrivare quindi insieme ad una soluzione, non me ne volere.
"Seven90":
Si ed infattio l'equazione che avevo scritto io era $ x^2 + y^2 -2y = 1 $. Non lo dico per far polemica ma per correggermi se ho sbagliato, ed arrivare quindi insieme ad una soluzione, non me ne volere.
guarda che ha ragione. a questa $ x^2 + y^2 -2y = 1 $ somma ad entrambi i membri +1 e ti viene $ x^2 + y^2 -2y +1= 2 $ quindi ti accorgi che $ y^2 -2y +1= (y-1)^2 $ e allora riscrivi tutto così:
$ x^2 + (y-1)^2 = 1 $
tra l'altro prima di passare alle coordinate polari io ti consiglio di passare al nuovo sistema di riferimento compiendo questa sostituzione: $ tilde(y) =y-1 $
in questo modo hai: $ D={x>=0, tildey>=-1; x^2+tildey^2<=2, tildey<=- sqrt(2)x^2} $
ora non hai più alcun problema a sostituire alle tue variabili le coordinate polari e se vuoi alla fine puoi anche fare la composizione delle due trasformazioni e quindi avrai che $ x=r*cos(t); y=r*sin(t)+1 $
il vantaggio di passare da y a ytilde è che quando risolvi la disequazione del cerchio trovi immediatamente che $ r<=sqrt2 $
inoltre è facile trovare la limitazione della t in quanto dalla x>=0 semplifichi la r perché r>=0 e trovi che $ -pi/2<=t<=pi/2 $ ma sai anche che $ sint<=1/r $ e quindi essendo $ r<=sqrt2 $ trovi subito che $ sent<=(sqrt2)/2 $ dall'equazione della parabola sai che $ sint<=-sqrt(2)cos^2t rArr sqrt2*sin^2t-sint-sqrt2>=0 rArr sint<=-(sqrt2)/2 $ mettendo a sistema le disequazioni la t è compresa tra $ -pi/2<=t<=-pi/4 $.
spero di non aver fatto errori XD
Ecco non potevi essere più chiaro! GRAZIE
avevo sbagliato a scrivere $ pi/4 $ alla fine... e cmq è sbagliato lo stesso perché è $ -pi/4 $ XD di nulla sto studiando anche io gli integrali in più variabili!
Edit: ho corretto il messaggio precedente adesso DOVREBBE essere tutto giusto
Edit: ho corretto il messaggio precedente adesso DOVREBBE essere tutto giusto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo