Disequazione goniometrica

[marcus1121]

Ho un dubbio.....
stavo verificando questo limite
$lim_(n -> +oo)sen(1/n)=0$
applicando la definizione di limite finito e alla fine volevo calcolare il valore di $n$

$sen(1/n)0<=1/nn>1/epsilonvvn>1/(360°)$

Secondo me questo non è il valore esatto di $n$

[stormy1]

applicando la definizione di limite bisogna dimostrare che
$forall epsilon>0 ,exists n_0 : forall n >n_0 ,sen1/n
tra le soluzioni di $sen1/n1/(arcsen epsilon)$
l'$n_0$ cercato è il primo intero maggiore di $1/(arcsen epsilon)$

[gugo82]

@ marcus112: Innanzitutto, l'argomento delle funzioni goniometriche è sempre da considerarsi in radianti e mai in gradi; quindi scritture del tipo \(180^\circ -\varepsilon < 1/n <360^\circ\) è meglio se le releghi a ricordi della scuola superiore, perché esse non sono da considerarsi corrette.

In secondo luogo, potresti procedere anche in maniera diversa, ammesso che tu conosca la fondamentale disuguaglianza \(\sin x\leq x\) valida per \(x\geq 0\)... Vediamo un po' come.
Vuoi mostrare tramite la definizione che in corrispondenza di ogni numero \(\varepsilon >0\) è possibile determinare un indice \(\nu=\nu(\varepsilon) \in \mathbb{N}\) che gode della seguente proprietà:
\[
\tag{L}
\forall n\geq \nu,\quad \sin \frac{1}{n} <\varepsilon\; .
\]
Fissiamo \(\varepsilon >0\).
Dato che \(\frac{1}{n} >0\), hai certamente:
\[
\tag{1}
\sin \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}\; ,
\]
dunque affinché per \(n\geq \nu\) valga la disuguaglianza in (L), i.e. \(\sin \frac{1}{n}<\varepsilon\), ti basta scegliere \(\nu\) in modo che:
\[
\tag{L'}
\forall n\geq \nu,\quad \frac{1}{n}<\varepsilon\; .
\]
Infatti, se \(\nu\) è scelto in modo da soddisfare la (L'), per ogni indice \(n\geq \nu\) hai:
\[
\sin \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \sin \frac{1}{n}<\varepsilon
\]
perciò \(\nu\) soddisfa pure la proprietà (L).
La disuguaglianza in (L') vale non appena \(n>1/\varepsilon\), e ciò significa che basta scegliere \(\nu=\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1\) per soddisfare la (L') e quindi anche la (L).
Lasciando di nuovo \(\varepsilon\) libero di variare, ci si accorge che il ragionamento di prima può essere ripetuto parola per parola per tutti i possibili valori di \(\varepsilon\); dunque rimane dimostrato che in corrispondenza di un qualsiasi numero \(\varepsilon >0\) è possibile determinare \(\nu = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1\) in modo che valga la (L) e ciò equivale a dire che:
\[
\lim_n \sin \frac{1}{n} =0\; .
\]

Una cosa che potresti chiederti è se il \(\nu (\varepsilon)\) determinato col ragionamento appena concluso sia il "miglior valore possibile", cioé il più piccolo indice dal quale in poi è soddisfatta la (L)...
Questa è una domanda lecita, e la risposta è negativa (in generale ed in questo caso specifico[nota]Infatti, il miglior valore di \(\nu\) è quello determinato nel post precedente da stormy, i.e. \(\nu(\varepsilon) = \lfloor 1/\arcsin \varepsilon \rfloor +1\), come puoi vedere diagrammando i grafici delle due funzioni in un intorno destro di \(0\), e.g. per \(\varepsilon \in ]0,1[\).[/nota]).
Ma mi preme notare che una risposta negativa a tale domanda non inficia in alcun modo la dimostrazione del limite. Infatti nella definizione di limite non è richiesto mai esplicitamente che \(\nu (\varepsilon)\) sia il più piccolo indice a godere della (L)!
Questo dipende dal seguente fatto: in generale, cioé per una generica successione \((a_n)\), è impossibile determinare "esplicitamente" (ad esempio, con una formula chiusa) il più piccolo indice \(\nu\) che gode della proprietà:
\[
\forall n\geq \nu,\quad |a_n-l|<\varepsilon\; ;
\]
quindi alla determinazione esplicita del miglior indice \(\nu (\varepsilon)\) deve essere lasciato davvero poco spazio se si vuole avere una definizione "applicabile", cosa che è stata fatta.

[marcus1121]

I vostri consigli mi hanno aiutato …. ma vorrei fissare meglio le idee:

partendo dal limite $lim_(n->+oo)sen(1/n)=0$

io per trovare il valore di $n$ devo risolvere la disequazione

$sin(1/n)
$0<=1/n
$+oo$ la scelta ricade, ovviamente, su

$n>1/(arcsen(epsilon))$ che, secondo me, è l’unico valore da considerare.


Nota: non volendo determinare il valore di $n$

essendo $0+oo)sen(1/n)=0$?

Grazie

[gugo82]

"marcus112":I vostri consigli mi hanno aiutato …. ma vorrei fissare meglio le idee:

partendo dal limite $lim_(n->+oo)sen(1/n)=0$

io per trovare il valore di $n$ devo risolvere la disequazione

$sin(1/n)
$0<=1/n
$+oo$ la scelta ricade, ovviamente, su

$n>1/(arcsen(epsilon))$ [...]

Certo.

Però è la conclusione:

"marcus112":[...] che, secondo me, è l’unico valore da considerare.

che non capisco: cosa vuol dire?

"marcus112":Nota: non volendo determinare il valore di $n$

essendo $0+oo)sen(1/n)=0$?

Ovviamente no.
Infatti le disuguaglianze:
\[
0\leq \sin \frac{1}{n}\leq 1
\]
ti dicono solamente che la successione di termine generale \(\sin \frac{1}{n}\) è limitata (che è cosa ben diversa da "successione che ha limite").

[marcus1121]

$ n>1/(arcsen(epsilon)) $ che, secondo me, è l’unico valore da considerare.
Nel senso che è il valore più preciso che si possa trovare....poi come mi hai fatto notare va benissimo anche
$ n>1/(arcsen(epsilon)) +1$


Nota: non volendo determinare il valore di $ n $

essendo $0<=sin(1/n)<=1$
non risulta verificato immediatamente che $ lim_(n->+oo)sen(1/n)=0 $?

Qui invece intendevo che essendo $0<=sin(1/n)<=1$ qualsiasi esso sia il valore di
$epsilon$
si riesce a trovare un valore,sempre, più piccolo della funzione esaminata.