Disequazione, f esponenziale e parametro

[SwitchArio]

Determinare l'insieme:
$ {\alpha\in(0,+∞):e^x>x^\alpha , \forall x>0} $

Ho provato a studiare la funzione e fare ragionamenti sulla convessità/concavità (trasformando in logaritmi) ma non sono riuscito a venirne a capo.
Qualcuno sa come risolverla?

[SwitchArio]

È risolvibile, perché era un esercizio delle prove di esame di analisi I vecchie dell’università che frequento.

[Mephlip]

Eri sulla strada giusta con la strategia di passare ai logaritmi e studiare la funzione equivalente così ottenuta. Per ogni \(\alpha>0\) e per ogni \(x>0\), si ha:\[
\left[e^x>x^\alpha\right] \iff \left[x>\alpha \log x \right] \iff \left[\frac{\log x}{x}<\frac{1}{\alpha}\right]
\]Suggerimento: chi è il massimo assoluto di \(\log(x)/x\) in \((0,+\infty\))?

[pilloeffe]

Ciao SwitchArio,

Beh, si vede subito che $\forall x > 0 $ la disequazione è banalmente verificata anche per $\alpha = 0 $; lo stesso accade anche per $\alpha = 1 $ e per $\alpha = 2 $, $\forall x > 0 $
Per il resto, segui il suggerimento che ti ha già dato Mephlip...