Disequazione con seno e coseno

[hastings1]

Ciao a tutti,
potreste dirmi se si può risolvere la seguente disequazione come l'ho fatto io?
Grazie in anticipo.

\(\displaystyle \sin x -\sqrt{3}\cos x +1 \geq 0\)

SVOLGIMENTO:
\(\displaystyle (\sin x +1)^2 \geq (\sqrt{3}\cos x )^2 \)
\(\displaystyle \sin^2 x+1 +2\sin x \geq 3\cos^2x\)
\(\displaystyle \sin^2 x+1 +2\sin x \geq 3(1- \sin^2x)\)
\(\displaystyle \sin^2 x +3\sin^2x +2\sin x +1 -3\geq 0 \)
\(\displaystyle 4\sin^2x +2\sin x -2 \geq 0 \)

Pongo \(\displaystyle Y=\sin x \) e riscrivo: \(\displaystyle 2Y^2+Y-1\geq 0 \) (1)

Equaz. ass: \(\displaystyle 2Y^2+Y-1= 0 \)
Quindi le radici sono $Y= 1/2$ e $Y=-1$
Guardando la parabola dell'espressione (1) prendo gli intervalli esterni:
$Y \leq -1$ e $Y geq 1/2$.
Analizziamo ciascun intervallo da vicino:
A) $Y= \sin x \leq -1$ ma siccome il seno è compreso tra -1 e 1 posso solo accettare $\sin x =-1$ cioè $x=3/2 \pi + k2\pi$ dove $k \in ZZ$.
B) $Y =\sin x \geq 1/2$. Se analizziamo la circonf. goniometrica ci accorgiamo che risulta verificata per tutti gli angoli compresi tra 30° e 150°, cioè: $\pi/6 \leq x \leq5\pi /6 + k2 \pi$ con $k \in ZZ$, come al solito.

È giusto come ho elevato al quadrato i due membri della diseq? Si può fare oppure sto infrangendo qualche basilare regola delle diseq.?
Nell'ultimo passaggio è corretto il periodo di $\pi/6 \leq x \leq5\pi /6 $ cioè $2k\pi$ oppure è diverso?

[Lorin1]

Di solito si dovrebbero usare le formule parametriche ma non vedo nulla di insensato nel tuo svolgimento...uhm...

[chiaraotta1]

"hastings":Ciao a tutti,
potreste dirmi se si può risolvere la seguente disequazione come l'ho fatto io?
Grazie in anticipo.

\(\displaystyle \sin x -\sqrt{3}\cos x +1 \geq 0\)

SVOLGIMENTO:
\(\displaystyle (\sin x +1)^2 \geq (\sqrt{3}\cos x )^2 \)
\(\displaystyle \sin^2 x+1 +2\sin x \geq 3\cos^2x\)
\(\displaystyle \sin^2 x+1 +2\sin x \geq 3(1- \sin^2x)\)
\(\displaystyle \sin^2 x +3\sin^2x +2\sin x +1 -3\geq 0 \)
\(\displaystyle 4\sin^2x +2\sin x -2 \geq 0 \)

Pongo \(\displaystyle Y=\sin x \) e riscrivo: \(\displaystyle 2Y^2+Y-1\geq 0 \) (1)

Equaz. ass: \(\displaystyle 2Y^2+Y-1= 0 \)
Quindi le radici sono $Y= 1/2$ e $Y=-1$
Guardando la parabola dell'espressione (1) prendo gli intervalli esterni:
$Y \leq -1$ e $Y geq 1/2$.
Analizziamo ciascun intervallo da vicino:
A) $Y= \sin x \leq -1$ ma siccome il seno è compreso tra -1 e 1 posso solo accettare $\sin x =-1$ cioè $x=3/2 \pi + k2\pi$ dove $k \in ZZ$.
B) $Y =\sin x \geq 1/2$. Se analizziamo la circonf. goniometrica ci accorgiamo che risulta verificata per tutti gli angoli compresi tra 30° e 150°, cioè: $\pi/6 \leq x \leq5\pi /6 + k2 \pi$ con $k \in ZZ$, come al solito.

È giusto come ho elevato al quadrato i due membri della diseq? Si può fare oppure sto infrangendo qualche basilare regola delle diseq.?
Nell'ultimo passaggio è corretto il periodo di $\pi/6 \leq x \leq5\pi /6 $ cioè $2k\pi$ oppure è diverso?

Io risolverei così ....
Poiché
$sin(x)-sqrt(3)cos(x)=2sin(x-pi/3)$,
allora
$sin(x)-sqrt(3)cos(x)>=-1->2sin(x-pi/3)>=-1->sin(x-pi/3)>=-1/2->$
$-pi/6+2kpi<=x-pi/3<=7/6pi+2kpi->pi/6+2kpi<=x<=3/2pi+2kpi$.

In ogni caso non si possono elevare al quadrato le diseguaglianze, seza porre delle condizioni ($3>\ -10$, ma non è vero che $9>100$).

[robe921]

da quando non si conta più $1$ come $sin^2x+cos^2x$?

[gugo82]

Si poteva usare anche il metodo grafico, cioè trasformare il problema nel sistema:
\[
\begin{cases}
X=\cos x\\
Y=\sin x\\
Y-\sqrt{3}\ X+1\geq 0\\
X^2+Y^2=1
\end{cases}
\]
dal quale si ricava graficamente che le soluzioni \(x\) stanno tra \(\pi/6\) e \(3\pi/2\) (modulo \(2\pi\)).

[hastings1]

Ok.
Grazie mille a tutti quelli che sono intervenuti.